1 - Preface 前言

前言 Preface

函数的本质

函数是一种变换（输入到输出）

$f(x_1,x_2,\dots ,x_m)=\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right]$

$m$ 维输入 $\Rightarrow$ $n$ 维输出的变换。

可视化方法

$\{\begin{array}{l}m+n\text{ 维}：\text{绘制输入与输出，如 }f(x,y)\text{ 立体图（输入 }(x,y)\text{，输出 }z\text{）}\\ n\text{ 维}：\text{只绘制输出，如参数方程 }f(t,s)=\left[\begin{array}{c}x(t,s)\\ y(t,s)\\ z(t,s)\end{array}\right]\\ m\text{ 维}：\text{把输出作为向量附加到输入的每个点上，即向量场（如速度场）/ 等高线图}\end{array}$

求导的本质

线性化

在一点求导本质是一个线性变换，它把 $n$ 维变化映射为 $m$ 维变化（可以用雅可比矩阵表示），是对函数局部的线性化。

$\vec{F}(\vec{v}+d\vec{v})=\vec{F}(\vec{v})+\vec{L}(d\vec{v})+o(|d\vec{v}|)$ $\Rightarrow d\vec{F}=\vec{L}(d\vec{v})=\vec{J}d\vec{v}$

$f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$，经过求导变换 $f^{\prime }:{\mathbb{R}}^n\to \mathcal{L}({\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^m)$

$\dim \mathcal{L}({\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^m)=m\times n$，为所有线性变换构成的空间。

二维叉积

二维叉积（伪标量，有向面积）

$\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right]=ad-bc$

广义斯托克斯定理

微积分基本定理的统一推广

${\int }_{\Omega }d\omega ={\int }_{\partial \Omega }\omega$

区域内部的变化率的积分 = 边界上的累积积分

以旋度为例：内部相邻旋度相互抵消，最后只剩下边界的累积。

定理	维度	对应情况
微积分基本定理 (FTC)	1D
格林公式 (Green’s Theorem)	2D 平面	平面上的环量与旋度
斯托克斯定理 (Stokes’ Theorem)	2D 曲面	曲面上的旋度与边界环量
高斯散度定理 (Divergence Theorem)	3D 体积	体积内的散度与表面通量