10 - 线积分 Line Integral

线积分 Line Integral

第一类线积分（标量场）

定义

${\int }_{\Gamma }fds$

计算方法

曲线自由度为 $1$，化为单变量参数方程后代入即可：

${\Gamma }_{AB}:\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array},\alpha \le t\le \beta$

${\int }_{{\Gamma }_{AB}}f(x,y,z)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f\sqrt{(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2+(z^{\prime }{)}^2}dt$

注意

曲线上每一点均满足曲线表达式，计算时可直接代入。

几何与物理意义

意义	解释
几何	上边界为曲线 ${\Gamma }_{AB}$、高度为 $f(x,y,z)$ 的侧面面积
物理	密度为 $f(x,y,z)$ 的绳的质量

示例

利用对称性简化

计算 ${\int }_{\Gamma }\left(x^2+2y\right)ds$，其中 $\Gamma :\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2=a^2\\ x+y+z=0\end{array}$

化参数方程困难时，可利用轮换对称性：

$=\frac{1}{3}{\int }_{\Gamma }\left(x^2+y^2+z^2\right)+2(x+y+z)ds$

$x,y,z$ 地位相等，可轮换。

第二类曲线积分（向量场）

定义

${\int }_{\Gamma }\vec{F}\cdot d\vec{r}$

注意曲线的指定方向。

三种等价形式：

$\int \vec{F}\cdot d\vec{s}=\int (P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )ds=\int Pdx+Qdy+Rdz$

其中 $\vec{F}=(P,Q,R)$，$\hat{s}=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$ 为单位切向量。

保守场的四个等价条件

1. 无旋：$\nabla \times \vec{F}\equiv \vec{0}$
2. 存在势函数 $\phi$，使得 $d\phi =\vec{F}\cdot d\vec{r}$
3. 积分值与路径无关
4. 单连通区域中任一封闭曲线的环量为 $0$

计算方法

方法一：参数化

与第一类类似，参数化后代入：

${\int }_{\Gamma }\vec{F}\cdot d\vec{r}={\int }_{\alpha }^{\beta }\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot {\vec{r}}^{\prime }(t)dt$

方法二：格林/斯托克斯公式

封闭曲线，或将非封闭曲线补全为封闭曲线（增补部分易求），运用：

$\{\begin{array}{l}\oint \vec{F}(P,Q)\cdot d\vec{s}=\iint \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy\\ \oint \vec{F}(P,Q,R)\cdot d\vec{s}=\iint \left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dydz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)dzdx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy\end{array}$

方法三：挖洞法

若曲面内部有洞（无定义点或偏导不连续点），且洞外向量场无旋（$\nabla \times \vec{F}\equiv 0$，保守场），则可选择任意包含同样洞的曲线替代原曲线。

常见情形

洞常出现在分母为零处，选取分母 = 常数的曲线简化计算。

方法四：换路径

非封闭曲线若无旋（保守场），积分值只与起点和终点有关，可更换路径。常将曲线化为沿坐标轴方向的多段直线简化计算。

方法五：势函数法

保守场（$\nabla \times \vec{F}\equiv 0$）存在势函数 $\phi$（原函数），使得 $\vec{F}=\nabla \phi$。通过对 $\vec{F}\cdot d\vec{r}$ 偏积分求出 $\phi$ 后：

${\int }_A^B\vec{F}\cdot d\vec{r}=\phi (B)-\phi (A)$

应用：求不规则图形面积

构造旋度为 1 的向量场

$S={\iint }_{S}1d\sigma =\frac{1}{2}{\oint }_{\partial S}-ydx+xdy$

构造 $\frac{1}{2}\nabla \times (-y,x,0)=(0,0,1)$，旋度恒为 1。