11 - 重积分 Multiple Integral

重积分 Multiple Integral

二重积分

定义

${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$ 将区域 $D$ 无限细分，每小块上用函数值乘以面积微元求和取极限。

计算方法

方法一：直角坐标

化为累次积分（先积一个变量，再积另一个）：

${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_a^{b}dx{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy$

积分次序

根据区域形状选择先积哪个变量，使上下限尽可能简单。

方法二：极坐标

适用于圆形、扇形等区域，令 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$：

${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D^{\prime }}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdrd\theta$

面积微元

极坐标下 $d\sigma =rdrd\theta$，不要漏掉 Jacobian 因子 $r$。

几何意义

$f(x,y)\ge 0$ 时，${\iint }_{D}fd\sigma$ 表示以 $D$ 为底、$f(x,y)$ 为高的曲顶柱体体积。

物理意义

被积函数 $f$ 的含义	积分结果
面密度 $\rho (x,y)$	平板的总质量

三重积分

定义

${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dV$

计算方法

方法一：直角坐标

${\iiint }_{\Omega }fdxdydz={\int }_a^{b}dx{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}dy{\int }_{{\psi }_1(x,y)}^{{\psi }_2(x,y)}fdz$

方法二：平面截割法

用平行于某坐标面的平面族切割区域 $\Omega$，先求截面面积（或截面上的积分值），再沿第三方向积分：

${\iiint }_{\Omega }fdV={\int }_a^{b}A(z)dz={\int }_a^{b}dz{\iint }_{D_z}f(x,y,z)dxdy$

其中 $A(z)={\iint }_{D_z}f(x,y,z)dxdy$ 为 $z$ 处截面的积分值，$D_z$ 为 $z=c$ 平面截 $\Omega$ 所得的截面区域。

适用情形

截面形状规则（如圆、矩形）且面积易于计算时，比坐标变换更简洁。

方法三：柱坐标

适用于柱形、旋转体，令 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,z=z$：

${\iiint }_{\Omega }fdV=\iiint f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)rdrd\theta dz$

方法四：球坐标

适用于球形、锥形区域，令 $x=r\sin \phi \cos \theta ,y=r\sin \phi \sin \theta ,z=r\cos \phi$：

${\iiint }_{\Omega }fdV=\iiint f\cdot r^2\sin \phi drd\phi d\theta$

体积微元

坐标系	体积微元 $dV$
直角	$dxdydz$
柱坐标	$rdrd\theta dz$
球坐标	$r^2\sin \phi drd\phi d\theta$

物理意义

被积函数 $f$ 的含义	积分结果
体密度 $\rho (x,y,z)$	物体的总质量

换元法

一般换元公式

设变换 $x=x(u,v),y=y(u,v)$，则：

${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D^{\prime }}f(x(u,v),y(u,v))|J|dudv$

其中 $J=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$ 为变换的 Jacobian 行列式。

对称性

利用对称性简化重积分

识别对称性可以大幅简化计算，核心思路：偶函数加倍，奇函数归零。

奇偶对称

区域关于 $y$ 轴对称（$x\leftrightarrow -x$）：

${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =\{\begin{array}{ll}0& f(-x,y)=-f(x,y)\text{（关于 x 为奇函数）}\\ 2{\iint }_{D_{x\ge 0}}f(x,y)d\sigma & f(-x,y)=f(x,y)\text{（关于 x 为偶函数）}\end{array}$

区域关于 $x$ 轴对称（$y\leftrightarrow -y$）：

${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =\{\begin{array}{ll}0& f(x,-y)=-f(x,y)\\ 2{\iint }_{D_{y\ge 0}}f(x,y)d\sigma & f(x,-y)=f(x,y)\end{array}$

轮换对称

若区域 $D$ 关于 $y=x$ 对称（交换 $x,y$ 后区域不变），则：

${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\iint }_{D}f(y,x)d\sigma$

常用技巧

结合轮换对称，可将复杂被积函数简化：

${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =\frac{1}{2}{\iint }_D\left[f(x,y)+f(y,x)\right]d\sigma$

例：$x^2+y^2$ 在圆域上可直接替换为 $2x^2$ 再积分。