12 - 面积分 Surface Integral

面积分 Surface Integral

第一类曲面积分（标量场）

定义

${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS$ 将曲面 $\Sigma$ 无限细分，每小块上用函数值乘以面积微元求和取极限。

计算方法

参数化 设曲面参数方程为 $\vec{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$：

${\iint }_{\Sigma }fdS={\iint }_{D^{\prime }}f(\vec{r}(u,v))|{\vec{r}}_u\times {\vec{r}}_v|dudv$

其中 ${\vec{r}}_u\times {\vec{r}}_v$ 为切向量的叉积，$|{\vec{r}}_u\times {\vec{r}}_v|dudv$ 即为面积微元 $dS$。

若方程为 $z=z(x,y)$，则缩放系数为 $\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}$

几何意义

$f(x,y,z)\ge 0$ 时，${\iint }_{\Sigma }fdS$ 表示以曲面 $\Sigma$ 为底、$f$ 为高的「曲面柱体」的体积。

${\iint }_{\Sigma }1dS=曲面面积$

物理意义

被积函数 $f$ 的含义	积分结果
面密度 $\rho (x,y,z)$	曲面薄壳的总质量

第二类曲面积分（向量场）

定义

${\iint }_{\Sigma }\vec{F}\cdot d\vec{S}$ 向量场 $\vec{F}$ 穿过曲面 $\Sigma$ 的通量。

注意曲面的指定侧（法线方向）。

三种等价形式

${\iint }_{\Sigma }\vec{F}\cdot d\vec{S}={\iint }_{\Sigma }(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS={\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$

其中 $\vec{F}=(P,Q,R)$，$\hat{n}=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$ 为单位法向量。 (关键注意法向量的分析)

计算方法

方法一：投影法

设曲面 $z=z(x,y)$，取上侧（法线朝上）：

${\iint }_{\Sigma }Rdxdy={\iint }_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))dxdy$

符号规则

取上侧 / 前侧 / 右侧 → 正号；取下侧 / 后侧 / 左侧 → 负号。

法向量和投影方向一致取正，相反取负。

方法二：高斯公式

封闭曲面（或补全为封闭曲面），运用：

${\oint }_S\vec{F}\cdot d\vec{S}={\iiint }_{\Omega }\nabla \cdot \vec{F}dV$

方向

高斯公式要求曲面取外侧（法线朝外）。

若有洞且 $\nabla \cdot \vec{F}{\equiv }_0$ ,则任意包含相同洞的 ${\Sigma }_1$ 与其曲面积分值相等 ${\oint }_{\Sigma }\vec{F}\cdot d\vec{S}={\oint }_{{\Sigma }_1}\vec{F}\cdot d\vec{S}$

方法三：换元法（参数化）

设曲面参数化 $\vec{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$：

${\iint }_{\Sigma }\vec{F}\cdot d\vec{S}={\iint }_{D^{\prime }}\vec{F}(\vec{r}(u,v))\cdot ({\vec{r}}_u\times {\vec{r}}_v)dudv$

与第一类的区别

第一类用 $|{\vec{r}}_u\times {\vec{r}}_v|$（取模，恒正）

第二类用 ${\vec{r}}_u\times {\vec{r}}_v$（不取模，保留方向）

$dS=|{\vec{r}}_u\times {\vec{r}}_v|$

对称性

奇偶对称

若曲面 $\Sigma$ （朝外侧）关于 $xOy$ 面对称，$\vec{F}=(P,Q,R)$：

条件	结果
$R(x,y,-z)=-R(x,y,z)$（关于 $z$ 为奇）	${\iint }_{\Sigma }Rdxdy=2{\iint }_{{\Sigma }_{z\ge 0}}Rdxdy$
$R(x,y,-z)=R(x,y,z)$（关于 $z$ 为偶）	${\iint }_{\Sigma }Rdxdy=0$

轮换对称

若曲面 $\Sigma$ 关于 $y=x$ 对称（交换 $x,y$ 后曲面不变），则：

${\iint }_{\Sigma }Pdydz={\iint }_{\Sigma }Qdzdx$