3 - 曲率 Curvature

曲率 Curvature

定义

对于参数曲线 $\vec{s}(t)$，其单位切向量为 $\vec{T}(t)$，则曲率 $\kappa$ 描述的是切向量沿曲线旋转的快慢：

曲率

$\kappa =\frac{|d\vec{T}|}{|d\vec{s}|}=\frac{|{\vec{s}}^{\prime \prime }\times {\vec{s}}^{\prime }|}{|{\vec{s}}^{\prime }{|}^3}$

曲率越大，曲线弯曲得越急；$\kappa =0$ 对应直线。

曲率半径

曲率的倒数称为曲率半径，直观表示「这条曲线在该点等价于多大的圆」：

曲率半径

$\rho =\frac{1}{\kappa }$

实用技巧

计算时一般可以先用物理方法求出曲率半径 $\rho$，再取倒数得到曲率 $\kappa$。

推导

由定义出发，单位切向量为：

$\vec{T}=\frac{{\vec{s}}^{\prime }}{|{\vec{s}}^{\prime }|}$

对 $\vec{T}$ 求导时，二阶导的效果可以分解为两部分：

• 旋转分量：与速度方向垂直，大小正比于 $\sin \theta$
• 拉伸分量：与速度方向平行，大小正比于 $\cos \theta$

取叉积恰好只保留旋转部分，因此：

$\left|\frac{d\vec{T}}{dt}\right|=\left|\frac{\frac{{\vec{s}}^{\prime }}{|{\vec{s}}^{\prime }|}\times {\vec{s}}^{\prime \prime }}{|{\vec{s}}^{\prime }|}\right|$

其中 $\frac{{\vec{s}}^{\prime }}{|{\vec{s}}^{\prime }|}\times {\vec{s}}^{\prime \prime }$ 是切向量旋转效果的变化量（除以模长 $|{\vec{s}}^{\prime }|$ 只保留方向），再除以 $|{\vec{s}}^{\prime }|$ 完成单位化。结合 $|d\vec{s}|=|{\vec{s}}^{\prime }|dt$，最终得到：

$\kappa =\frac{|{\vec{s}}^{\prime \prime }\times {\vec{s}}^{\prime }|}{|{\vec{s}}^{\prime }{|}^3}$