4 - Divergence 散度

散度 Divergence

定义

散度

一点处单位微元(面积微元、体积微元)的净流出通量（即通量密度）。

$\text{div}\vec{F}=\nabla \cdot \vec{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}$

$\nabla \cdot \vec{F}={\lim }_{\Delta V\to 0}\frac{{\oint }_{\partial \Delta V}\vec{F}\cdot d\vec{S}}{\Delta V}$

符号	含义
$\text{div}\vec{F}>0$	有源，净流出
$\text{div}\vec{F}<0$	有汇，净流入
$\text{div}\vec{F}=0$	无源无汇（如不可压缩流体）

散度在所有维度上均有定义

代数意义：分量受共线坐标的影响程度

推导

向量场 $\vec{F}(x,y)=(P,Q)$，只需考虑附加向量的 $x$、$y$ 分量（其余方向为其线性组合）： 影响流出通量的是：$x$ 分量在 $x$ 方向上的变化量，以及 $y$ 分量在 $y$ 方向上的变化量。 左右两面的净流出通量为 $\frac{\partial P}{\partial x}dx\cdot dy$，上下两面的净流出通量为 $\frac{\partial Q}{\partial y}dy\cdot dx$

因此面微元 $dxdy$ 上的净流出通量为：

$\Phi =\text{div}\vec{F}dxdy=\left(\frac{\partial P}{\partial x}dx\right)dy+\left(\frac{\partial Q}{\partial y}dy\right)dx$

消去 $dxdy$ 即得(通量的面密度)：

$\Rightarrow \text{div}\vec{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}=\nabla \cdot \vec{F}$