5 - 旋度 Curl

旋度 Curl

定义

旋度

一点处流体微团朝逆时针方向变化的速度。

$\text{curl}\vec{F}=\nabla \times \vec{F}$

旋度衡量的是向量场在某点的旋转程度。环量面密度定义为：

$\nabla \times \vec{F}={\lim }_{S\to 0}\frac{{\oint }_l\vec{F}\cdot d\vec{r}}{S}$

其中环量 ${\oint }_l\vec{F}\cdot d\vec{r}$ 衡量了向量场与曲线的贴合程度（逆时针方向）。

二维旋度

$\text{curl}\vec{V}=\nabla \times \vec{V}=\left(0,0,\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)$

推导

考虑 $x$、$y$ 两个方向上的贡献：

• $y$ 方向：$\frac{\partial P}{\partial y}$（$x$ 分量的增长速率）使微元顺时针旋转，贡献 $-\frac{\partial P}{\partial y}$

• $x$ 方向：$\frac{\partial Q}{\partial x}$（$y$ 分量的增长速率）使微元逆时针旋转，贡献 $+\frac{\partial Q}{\partial x}$

综合可得，微元逆时针的旋转程度为：

$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}$

三维旋度

$\text{curl}\vec{V}=\nabla \times \vec{V}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)$

推导

旋转效果（对应一个矢量，类似角速度）可分解在三个方向上：

• $z$ 方向的旋转由 $xOy$ 平面上的旋转提供：$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}$
• $x$ 方向：$\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}$
• $y$ 方向：$\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}$

物理意义

环量面密度最大的方向

$\text{curl}\vec{F}\cdot \hat{v}$ 是向量场 $\vec{F}$ 绕 $\hat{v}$ 方向的轴的环量面密度。旋度矢量的方向就是环量面密度最大的方向。