6 - 拉普拉斯算子&调和函数 Laplacian&Harmanic Function

拉普拉斯算子&调和函数 Laplacian&Harmanic Function

拉普拉斯算子

拉普拉斯算子 $\Delta$

梯度的散度，即「对梯度场再求散度」：

$\Delta f=\text{div}(\text{grad}f)=\nabla \cdot \nabla f={\nabla }^{2}f$

几何意义

拉普拉斯算子衡量了邻域平均值与该点函数值的大小关系。

$\Delta f$ 是梯度场的散度，即每一点梯度通量流出的速率。而梯度指向上升方向，因此：

条件	含义	几何直观
$\Delta f=0$	该点邻域的函数平均值 = 该点函数值	平坦区域
$\Delta f>0$	邻域平均值 > 该点值，该点偏低	山谷（极小值的程度）
$\Delta f<0$	邻域平均值 < 该点值，该点偏高	山峰（极大值的程度）

调和函数

调和函数

满足拉普拉斯方程的函数：

$\Delta f\equiv 0$

调和函数的性质

• 无极大值、无极小值（最大值/最小值只能出现在边界上）
• 无源无汇
• 任意一点邻域的函数平均值 = 该点的函数值（平均值性质）