8 - Jacobian Determinant 雅可比行列式

雅可比行列式 Jacobian Determinant

定义

雅可比行列式

变换 $\mathbf{f}:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$，雅可比矩阵为 $\mathbf{J}$，则雅可比行列式为 $|\mathbf{J}|$

若 $m\ne n$（非方阵），一般处理为：

• $m>n$：$\sqrt{|J^{T}J|}$（$n$ 维到 $m$ 维的缩放系数）
• $m<n$：$\sqrt{|J{J}^T|}$（$m$ 维到 $n$ 维的缩放系数）

几何意义

行列式的绝对值衡量线性变换对体积的缩放程度。雅可比行列式就是这个局部缩放系数，反映了映射过程中弧长/面积/体积的缩放。

极坐标变换

$f(r,\theta )=\left\{r\cos \theta ,r\sin \theta \right\}$

$(r,\theta )$ 平面上的面积微元 $drd\theta$ 映射到 $(x,y)$ 平面上的面积微元 $dxdy$，缩放系数为 $r$：

$rdrd\theta =dxdy$

非方阵的缩放系数

当 $m\ne n$ 时，$J$ 不是方阵，无法直接取行列式。需要构造方阵：

情形	构造方式	缩放系数
$m>n$（低维→高维）	$J^{T}J$（$n\times n$）	$\sqrt{\det (J^{T}J)}$
$m<n$（高维→低维）	$J{J}^T$（$m\times m$）	$\sqrt{\det (J{J}^T)}$

与叉积的等价性

对于 2D 曲面嵌入 3D：$\sqrt{\det (J^{T}J)}=|{\vec{r}}_u\times {\vec{r}}_v|$

由拉格朗日恒等式 $|\vec{a}\times \vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2$ 可证。 叉积是 3D 的快捷方式，$\sqrt{\det (J^{T}J)}$ 是任意维的通用公式。