9 - 格林公式&斯托克斯公式&高斯定理 Green's&Stokes'&Gauss' Theorem

格林公式 & 斯托克斯公式 & 高斯定理

广义斯托克斯定理

Generalized Stokes' Theorem

${\int }_{\Omega }d\omega ={\int }_{\partial \Omega }\omega$ 其中 $\Omega$ 为积分区域，$\partial \Omega$ 为其边界，$d$ 为外微分（可表示梯度、旋度、散度）

格林公式 & 斯托克斯公式

Stokes' Theorem

${\oint }_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{s}={\iint }_S(\nabla \times \vec{F})\cdot d\vec{S}$ 闭合曲线的环量 = 以该曲线为边界的面上旋度的通量

面微元向量

$d\vec{S}=\hat{n}dS=\left(\cos \alpha dS,\cos \beta dS,\cos \gamma dS\right)=(dydz,dzdx,dxdy)$

$\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ 为法线与 $x,y,z$ 轴夹角的余弦，对应面积微元在三个坐标平面上的投影。

分量形式

$\{\begin{array}{l}\oint \vec{F}(P,Q)\cdot d\vec{s}=\iint \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy\\ \oint \vec{F}(P,Q,R)\cdot d\vec{s}=\iint \left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dydz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)dzdx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy\end{array}$

方向一致性

$d\vec{S}$ 的法线方向与 $\partial S$ 的绕行方向须保持一致（右手定则）。

高斯定理

Gauss' Theorem / Divergence Theorem

${\oint }_{\partial V}\vec{F}\cdot d\vec{S}={\iiint }_V\nabla \cdot \vec{F}dV$ 闭合曲面的通量 = 以该曲面为边界的立体上散度的积分

散度为通量的体密度，所以对体积分 = 对曲面积分。