3 - Alternating Series 交错级数

交错级数 Alternating Series

定义

交错级数

${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{a}_n$ 或 ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{a}_n$（$a_n>0$）

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莱布尼茨判别法 Leibniz Test

莱布尼茨判别法

若交错级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{a}_n$ 满足：

1. $a_n\ge a_{n+1}$（$\forall n$，即 $\{a_n\}$ 单调递减）
2. ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$

则级数收敛，且其和 $S\le a_1$，余项满足 $|R_n|\le a_{n+1}$。

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误差估计

余项估计

对莱布尼茨级数，截断到前 $n$ 项的余项满足： $|R_n|=|S-S_n|\le a_{n+1}$

即截断误差不超过被丢弃的第一项的绝对值。

Example

用 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}$ 近似 $\ln 2$，取前 $100$ 项： $\left|\ln 2-{\sum }_{n=1}^{100}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}\right|\le \frac{1}{101}\approx 0.0099$