4 - General Series 一般级数

一般级数 General Series

绝对收敛与条件收敛

绝对收敛

若 ${\sum }_{n=1}^{\infty }|a_n|$ 收敛，则称 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 绝对收敛。 若级数绝对收敛，则本身一定收敛

条件收敛

若 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛，但 ${\sum }_{n=1}^{\infty }|a_n|$ 发散，则称 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 条件收敛。

收敛级数的运算性质

结合律

收敛级数可以任意添加括号，所得级数仍收敛且和不变。

绝对收敛级数的交换律

绝对收敛级数可以任意重排项的顺序，和不变。

绝对收敛级数的乘积

若 $\sum a_n$ 和 $\sum b_n$ 都绝对收敛，则它们的柯西乘积 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n={\sum }_{n=0}^{\infty }\left({\sum }_{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}\right)$ 也绝对收敛，且和为 $\left(\sum a_n\right)\left(\sum b_n\right)$。