5 - Series of Functions 函数项级数

函数项级数 Series of Functions

定义

函数项级数

设 $u_n(x)$（$n=1,2,\dots$）是定义在集合 $D$ 上的函数列，则 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+\cdots$ 称为 $D$ 上的函数项级数。

收敛域

使 $\sum u_n(x)$ 收敛的全体 $x$ 构成的集合，称为收敛域。

在收敛域上，每一 $x$ 对应一个和 $S(x)$，称为和函数。

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【直观理解函数列的【一致收敛】和【逐点收敛】】 (一致收敛可以交换求和和其他运算符)

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逐点收敛 Pointwise Convergence

逐点收敛

若对每个 $x\in D$，数项级数 $\sum u_n(x)$ 都收敛，则称 $\sum u_n(x)$ 在 $D$ 上逐点收敛。

即：$\forall x\in D$，$\forall \epsilon >0$，$\exists N=N(\epsilon ,x)$，当 $n>N$ 时， $\left|S(x)-S_n(x)\right|=\left|{\sum }_{k=n+1}^{\infty }{u}_k(x)\right|<\epsilon$

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一致收敛 Uniform Convergence

一致收敛

若 $\forall \epsilon >0$，$\exists N=N(\epsilon )$（与 $x$ 无关），当 $n>N$ 时，$\forall x\in D$， $\left|S(x)-S_n(x)\right|=\left|{\sum }_{k=n+1}^{\infty }{u}_k(x)\right|<\epsilon$ 则称 $\sum u_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛。

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一致收敛的判别法

Weierstrass 判别法

Weierstrass 判别法

若存在正数列 $\{M_n\}$，使得 $\forall x\in D$， $|u_n(x)|\le M_n(\forall n)$ 且 $\sum M_n$ 收敛，则 $\sum u_n(x)$ 在 $D$ 上绝对收敛且一致收敛。

$\sum M_n$ 称为优级数

Example

$\sum \frac{\sin nx}{n^2}$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上一致收敛。

因为 $|\frac{\sin nx}{n^2}|\le \frac{1}{n^2}$，而 $\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛（$p=2>1$）。

Abel 判别法

Abel 判别法

若：

1. $\sum a_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛
2. $\{b_n(x)\}$ 对每个 $x$ 单调，且一致有界（即 $\exists M>0$，$|b_n(x)|\le M$，$\forall n,x$）

则 $\sum a_n(x)b_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛。

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一致收敛的性质（逐项运算）

连续性：逐项取极限

若 $u_n(x)$ 连续，且 $\sum u_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛到 $S(x)$，则 $S(x)$ 也连续，且 ${\lim }_{x\to x_0}{\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }{\lim }_{x\to x_0}{u}_n(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n(x_0)$ 即极限运算与求和可交换。

逐项积分

若 $u_n(x)$ 连续，$\sum u_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛，则 ${\int }_a^b{\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n(x)dx={\sum }_{n=1}^{\infty }{\int }_a^b{u}_n(x)dx$ 即积分运算与求和可交换。

逐项求导

若 $u_n(x)$ 可导，$\sum u_n(x)$ 逐点收敛到 $S(x)$，且 $\sum u_n^{\prime }(x)$ 一致收敛，则 $S^{\prime }(x)={\left({\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n(x)\right)}^{\prime }={\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n^{\prime }(x)$ 即求导运算与求和可交换。

注意

逐项求导的条件最苛刻：要求导数级数一致收敛，而非原级数一致收敛。