6 - Power Series 幂级数

幂级数

定义

幂级数

形如 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+\cdots$ 的函数项级数称为幂级数，其中 $x_0$ 为中心，$a_n$ 为系数。

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收敛半径与收敛域

Abel 定理

Abel 定理

若 $\sum a_n{x}^n$ 在 $x=x_0\ne 0$ 处收敛，则对 $\forall |x|<|x_0|$，级数绝对收敛。

反之，若在 $x=x_0$ 处发散，则对 $\forall |x|>|x_0|$，级数发散。

推论

Abel 定理保证了收敛区间关于原点对称——存在 $R\ge 0$，使得：

• $|x|<R$：绝对收敛
• $|x|>R$：发散
• $|x|=R$（端点）：需单独判断

收敛半径

收敛半径

满足上述性质的 $R$ 称为收敛半径，对应的开区间 $(-R,R)$ 称为收敛区间。

收敛域 = 收敛区间 + 端点（端点处敛散性需单独检验）。

求法

收敛半径的求法

设 $\rho =\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$（比值形式）或 $\rho ={\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{|a_n|}$（根值形式），则 $R=\frac{1}{\rho }=\{\begin{array}{ll}+\infty & \rho =0\\ \frac{1}{\rho }& 0<\rho <+\infty \\ 0& \rho =+\infty \end{array}$

${\lim }_{n\to \infty }\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}={\lim }_{n\to \infty }\frac{|x-x_0|}{\frac{|a_n}{|a_{n+1}|}|}$

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收敛幂级数的性质

内闭一致收敛

幂级数在收敛区间内的任意闭子区间 $[-r,r]$（$r<R$）上一致收敛。

运算性质

连续性

和函数 $S(x)=\sum a_n{x}^n$ 在收敛区间 $(-R,R)$ 内连续。

逐项积分

在 $(-R,R)$ 内可逐项积分： ${\int }_0^x{\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{t}^{n}dt={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{a_n}{n+1}{x}^{n+1}$ 且逐项积分后收敛半径不变（仍为 $R$）。

逐项求导

在 $(-R,R)$ 内可逐项求导： ${\left({\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n\right)}^{\prime }={\sum }_{n=1}^{\infty }n{a}_n{x}^{n-1}$ 且逐项求导后收敛半径不变（仍为 $R$）。

端点处

逐项求导/积分后，端点处的敛散性可能改变（但区间内部不受影响）。

四则运算

加减法

设 $\sum a_n{x}^n$ 与 $\sum b_n{x}^n$ 的收敛半径分别为 $R_1$、$R_2$，令 $R=\min (R_1,R_2)$，则在 $|x|<R$ 内： $\sum (a_n\pm b_n)x^n$

乘积（柯西乘积）

在 $|x|<R$ 内： $\left({\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n\right)\left({\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n{x}^n\right)={\sum }_{n=0}^{\infty }\left({\sum }_{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}\right)x^n$

求幂级数的和函数

Note

• 先求导再积分
• 先积分再求导
• 线性运算
• 变量代换

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函数展开成幂级数

泰勒级数与麦克劳林级数

泰勒级数

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内具有任意阶导数，则 $f(x)\sim {\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$ 称为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的泰勒级数。

当 $x_0=0$ 时，称为麦克劳林级数： $f(x)\sim {\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n$

注意

泰勒级数存在 $\ne$ 等于 $f(x)$！还需验证余项 $R_n(x)\to 0$。

唯一性定理

若 $f(x)$ 在某区间内能展开为幂级数 $\sum a_n{x}^n$，则展开式唯一，且 $a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$。

因此求展开式时，不必逐一求导——可用间接方法（已知展开式的代换、逐项运算等）。

常用技巧

利用已知展开式，通过代换、求导、积分等操作得到新函数的展开式