复数的几何表示 Geometric Representation

复平面

复数 $z = x + i y$ 可视为复平面上的向量：

模

$∣ z ∣ = x^{2} + y^{2}$ $∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣∣ z_{2} ∣$

三角不等式

$∣ z_{1} ∣ - ∣ z_{2} ∣ \leq ∣ z_{1} - z_{2} ∣ \leq ∣ z_{1} ∣ + ∣ z_{2} ∣$

Note

$∣ z_{1} - z_{2} ∣$ 表示两个复数端点间的距离。

幅角

$Arg z = θ + 2 kπ$ （多值性）

$tan Arg z = \frac{y}{x}$ （注意判断象限）

记 $ar g z$ 为 $Arg z$ 在 $(- π, π]$ 上的主值。

三角 / 指数 / 极坐标

$z = x + i y = ∣ z ∣ (cos θ + i sin θ) = ∣ z ∣ e^{i θ} = ∣ z ∣∠ θ$

$z_{1} z_{2} = ∣ z_{1} ∣∣ z_{2} ∣ e^{i (θ_{1} + θ_{2})} = ∣ z_{1} ∣∣ z_{2} ∣∠ (θ_{1} + θ_{2})$

$z^{n} = ∣ z ∣^{n} e^{in θ} = ∣ z ∣^{n} ∠ (n θ)$

几何意义

复数乘法 = 模相乘，幅角相加（二维旋转的代数表示）。

$n$ 次根

$n z = ∣ z ∣^{1/ n} ∠ \frac{θ + 2 kπ}{n}, k = 0, 1, \dots, n - 1$

根运算具有多值性（ $n$ 个根），所有根平分角度，落在正 $n$ 边形的顶点上。

利用复数推导三角公式

$cos 3 θ = Re ((1∠ θ)^{3}) = Re ((cos θ + i sin θ)^{3})$