1 - 简谐振动

简谐振动 Simple Harmonic Motion

运动方程

线性恢复力

$F=-kx$

微分方程与解

$\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0$

\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}} \\[6pt] x=A\cos(\omega t+\varphi_0) \\[4pt] v=-A\omega\sin(\omega t+\varphi_0) \\[4pt] a=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi_0) \end{cases}$$

由初始条件求振幅与初相

Note

已知 $x_0$、$v_0$、$\omega$： $A=\sqrt{x_0^2+{\left(\frac{v_0}{\omega }\right)}^2},\phi =-\arctan \frac{v_0}{\omega x_0}$ 总能量：$E=\frac{1}{2}k{A}^2$

求解方法

方法一：解微分方程

列动力学方程，解微分方程。复杂运动中常利用小量近似化为线性恢复力。

方法二：机械能守恒

列机械能守恒方程，两边对时间求导。尤其适用于约束复杂的系统。

参考圆（旋转矢量法）

旋转矢量法

简谐运动为振幅矢量 $\vec{A}$ 在 $x$ 轴上的投影。常用于时间与相位相关的问题。