2 - 振动的合成

振动的合成 Superposition of Oscillations

同频率、同方向

合成公式

$x_1=A_1\cos (\omega t+{\phi }_1)$，$x_2=A_2\cos (\omega t+{\phi }_2)$ $x=x_1+x_2=A\cos (\omega t+\phi )$

利用旋转矢量法 $\vec{A}={\vec{A}}_1+{\vec{A}}_2$： $A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos ({\phi }_2-{\phi }_1)}$ $\tan \phi =\frac{A_1\sin {\phi }_1+A_2\sin {\phi }_2}{A_1\cos {\phi }_1+A_2\cos {\phi }_2}$

相长与相消

• 相位差 $\Delta \phi =2k\pi$：相长，$A=A_1+A_2$
• 相位差 $\Delta \phi =(2k+1)\pi$：相消，$A=|A_1-A_2|$

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不同频率、同方向（拍）

拍 Beat

$x_1=A\cos ({\omega }_{1}t+\phi )$，$x_2=A\cos ({\omega }_{2}t+\phi )$（振幅相等、同相位） $x=2A\cos \left(\frac{{\omega }_1-{\omega }_2}{2}t\right)\cos \left(\frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{2}t+\phi \right)$

• 振幅：$A^{\prime }=2A\cos \left(\frac{{\omega }_1-{\omega }_2}{2}t\right)$
• 角频率：${\omega }^{\prime }=\frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{2}$
• 拍频：$\nu =|{\nu }_1-{\nu }_2|$

振幅与初相不等时

$\tilde{x}=A_1{e}^{i({\omega }_{1}t+{\phi }_1)}+A_2{e}^{i({\omega }_{2}t+{\phi }_2)}$ 记 $\bar{\omega }=\frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{2}$，$\Delta \omega ={\omega }_1-{\omega }_2$： $\tilde{x}=\left(A_1{e}^{i(\frac{\Delta \omega }{2}t+{\phi }_1)}+A_2{e}^{i(-\frac{\Delta \omega }{2}t+{\phi }_2)}\right)e^{i\bar{\omega }t}$ $\tan \Theta (t)=\frac{A_1\sin \left(\frac{\Delta \omega }{2}t+{\phi }_1\right)+A_2\sin \left(-\frac{\Delta \omega }{2}t+{\phi }_2\right)}{A_1\cos \left(\frac{\Delta \omega }{2}t+{\phi }_1\right)+A_2\cos \left(-\frac{\Delta \omega }{2}t+{\phi }_2\right)}$ $x=A(t)\cos (\bar{\omega }t+\Theta (t))$

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同频率、相互垂直

利萨如图形（椭圆方程）

$x=A_1\cos (\omega t+{\phi }_1)$，$y=A_2\cos (\omega t+{\phi }_2)$，消去 $t$： $\frac{x^2}{A_1^2}+\frac{y^2}{A_2^2}-\frac{2xy}{A_1{A}_2}\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)={\sin }^2({\phi }_1-{\phi }_2)$

$\Delta \phi =k\pi$ 时退化为直线。

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不同频率、相互垂直

李萨如图形

可用于确定频率比、振幅比、相位差。