5 - 受迫振动

受迫振动 Forced Oscillation

运动方程

策动力与微分方程

策动力 $F=F_0\cos \omega t$（任意驱动力可展开为周期驱动力的叠加），记 ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$，$2\delta =\frac{\gamma }{m}$，$f_0=\frac{F_0}{m}$： $\ddot{x}+2\delta \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=f_0\cos \omega t$

非齐次方程的解 = 通解 + 特解。通解（阻尼项）随时间衰减为零，只考虑与策动力同频的特解。

复数法求解

特解

设 $\tilde{x}=A{e}^{i(\omega t+\phi )}$，代入得 $\tilde{x}=\frac{f_0}{{\omega }_0^2-{\omega }^2+i2\delta \omega }{e}^{i\omega t}$

振幅与相位： $A=\frac{f_0}{\sqrt{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2+4{\delta }^2{\omega }^2}}$ $\tan \phi =-\frac{2\delta \omega }{{\omega }_0^2-{\omega }^2}$

共振

位移共振

${\omega }_r=\sqrt{{\omega }_0^2-2{\delta }^2}$ $A_{\max }=\frac{f_0}{2\delta \sqrt{{\omega }_0^2-{\delta }^2}}$ 弱阻尼（$\delta$ 很小）时，${\omega }_r\approx {\omega }_0$，振幅最大，能量最大。

速度共振

${\omega }_r={\omega }_0$ 此时最大速度 $v_{\max }=A{\omega }_r$ 取得最大值。