13 - 静电能

静电能

将电荷从无穷远处移动到当前位置所需做的功，即该电荷系统的总势能。（静电能归属于电场）

自能与互能

概念	含义	示例
互能	不同电荷之间的相互作用能量	两个点电荷系统的 $W_{12}$
自能	将同一个电荷分布”组装”起来所需的能量	均匀带电球壳的自能
总静电能	自能 + 互能	—

点电荷的自能发散（$r\to 0$ 时 $W\to \infty$），这意味着经典电磁学中点电荷模型存在局限性。 （不考虑点电荷自己对自己的电能、电场力等）

均匀带电球壳的自能

均匀带电球壳（总电荷 $Q$，半径 $R$）的自能：

$$W=\frac{Q^2}{8\pi {\epsilon }_{0}R}$$

点电荷系统的互能

两个点电荷 $q_1$、$q_2$ 相距 $r_{12}$ 时的相互作用能：

$$W_{12}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1{q}_2}{r_{12}}$$

推广到 $n$ 个点电荷的系统：

点电荷系统的静电能（互能）

$$W=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n{q}_i{\phi }_i$$

其中 ${\phi }_i$ 为除 $q_i$ 外所有其他电荷在 $q_i$ 处的电势。因子 $1/2$ 消除重复计数。

连续分布电荷的静电能

电荷连续分布

$$W=\frac{1}{2}\iiint \rho \phi dV$$

面分布：$W=\frac{1}{2}\iint \sigma \phi dS$ 线分布：$W=\frac{1}{2}\int \lambda \phi dl$

静电能量密度

静电能定域于电场中，用电场表示更为普适：

电场能量密度

$$w=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$$

总静电能（场视角）

$$W=\iiint wdV=\frac{1}{2}{\epsilon }_0\iiint E^{2}dV$$

推导：

$$>此形式对任意静电场成立，积分遍及全空间。[[8-电势能|前置-电势能]]|[[5-电容储能|平行-电场能量]]$$