3 - 电容

电容

导体存储电荷能力的度量。

定义

$$C=\frac{Q}{U}$$

符号	含义	单位
$C$	电容	F（法拉）
$Q$	极板所带电荷量	C
$U$	两极板间电势差	V

$1\text{F}=1\text{C/V}$，实际常用 $\mu \text{F}$（$10^{-6}$）、$\text{pF}$（$10^{-12}$）。

• 求电容大小
  • 设表面带电荷 $Q$ ，求 $U$（正电荷到负电荷的电势差）

平行板电容器

$$C=\frac{{\epsilon }_{0}S}{d}$$

推导：$C=\frac{Q}{U}=\frac{Q}{\frac{\frac{Q}{S}}{{\epsilon }_0}d}=\frac{{\epsilon }_{0}S}{d}$

$S$：极板面积，$d$：极板间距。电容值与 $Q$、$U$ 无关，只由几何结构决定。

球形电容器

两同心球壳，内半径 $R_a$，外半径 $R_b$（$R_a<R_b$）：

$$C=4\pi {\epsilon }_0\frac{R_a{R}_b}{R_b-R_a}$$

推导：令外表面带电荷 $Q$ ，则内表面带电荷 $-Q$ ，则 $C=\frac{Q}{U}=\frac{Q}{{\phi }_b-{\phi }_a}$

孤立导体球（$R_b\to \infty$）退化为：

$$C=4\pi {\epsilon }_{0}R$$

圆柱形电容器

两同轴圆柱面，内半径 $R_a$，外半径 $R_b$，高 $l$ ：

$$C=\frac{2\pi {\epsilon }_{0}l}{\ln \left(\frac{R_b}{R_a}\right)}$$

推导：把电场近似为匀强磁场(无限长直导线模型)$C=\frac{Q}{-{\int }_{R_b}^{R_a}\frac{\lambda }{{\epsilon }_{0}2\pi r}dr}$

前置-静电屏蔽 | 后置-电容器的串并联