1 - 麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组

电场有源，静电场无旋；磁场无源，磁场有旋；感生电场有旋

电磁场理论的基石，统一了电学、磁学和光学。

积分形式

$${\oint }_S\vec{E}\cdot d\vec{S}=\iiint \frac{\rho }{{\epsilon }_0}dV$$ $${\oint }_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=0$$ $$\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=-{\iint }_S\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot d\vec{S}$$ $$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}={\mu }_0\iint \vec{J}\cdot d\vec{S}+{\mu }_0{\epsilon }_0{\iint }_S\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\cdot d\vec{S}$$

微分形式

$$\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$$ $$\nabla \cdot \vec{B}=0$$ $$\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$ $$\nabla \times \vec{B}={\mu }_0\vec{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$

各方程含义：

方程	积分形式	物理意义	对应章节
电场高斯	${\oint }_S\vec{E}\cdot d\vec{S}=Q/{\epsilon }_0$	电荷是电场的源（有源场）
磁场高斯	${\oint }_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=0$	无磁单极子（无源场）
法拉第	$\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=-d{\Phi }_B/dt$	变化磁场 → 涡旋电场
安培-麦克斯韦	$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}={\mu }_{0}I+{\mu }_0{\epsilon }_{0}d{\Phi }_E/dt$	电流/变化电场 → 磁场

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介质中的麦克斯韦方程组

在电介质和磁介质中，引入辅助场 $\vec{D}$（电位移矢量）和 $\vec{H}$（磁场强度），方程只与自由电荷和传导电流有关：

介质中的积分形式

$${\oint }_S\vec{D}\cdot d\vec{S}=Q_f$$ $${\oint }_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=0$$ $$\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=-{\iint }_S\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot d\vec{S}$$ $$\oint \vec{H}\cdot d\vec{l}=I_f+{\iint }_S\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\cdot d\vec{S}$$

介质中的微分形式

$$\nabla \cdot \vec{D}={\rho }_f$$ $$\nabla \cdot \vec{B}=0$$ $$\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$ $$\nabla \times \vec{H}={\vec{J}}_f+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$$

• ! 总结

电场\begin{cases} 散度\to电荷分布 \\ 旋度\begin{cases} =0\to电势\to解电场 \\ \neq 0\to感生电场 \end{cases} \end{cases} \\ 磁场\begin{cases} 散度\to 0 \\ 旋度\begin{cases} 电流分布 \\ 电场变化（位移电流中 \end{cases} \end{cases} \end{cases}$$ ### 本构关系（线性介质） 将辅助场与基本场联系起来的物质方程：

\boxed{\vec{D} = \varepsilon \vec{E}},\qquad \boxed{\vec{B} = \mu \vec{H}},\qquad \boxed{\vec{J}_f = \sigma \vec{E}}

### 真空形式 ⇔ 介质形式对比 | 方程 | 真空形式 | 介质形式 | |:----:|:--------:|:--------:| | 电场高斯 | $\nabla \cdot \vec{E} = \rho/\varepsilon_0$ | $\nabla \cdot \vec{D} = \rho_f$ | | 磁场高斯 | $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ | $\nabla \cdot \vec{B} = 0$（不变） | | 法拉第 | $\nabla \times \vec{E} = -\partial\vec{B}/\partial t$ | $\nabla \times \vec{E} = -\partial\vec{B}/\partial t$（不变） | | 安培-麦克斯韦 | $\nabla \times \vec{B} = \mu_0\vec{J} + \mu_0\varepsilon_0\partial\vec{E}/\partial t$ | $\nabla \times \vec{H} = \vec{J}_f + \partial\vec{D}/\partial t$ | > **记忆要点**：真空 $\rightarrow$ 介质只需做代换：$\varepsilon_0\vec{E} \rightarrow \vec{D}$，$\mu_0\vec{J} \rightarrow \vec{J}_f$，$\mu_0\varepsilon_0\partial\vec{E}/\partial t \rightarrow \partial\vec{D}/\partial t$，$\vec{B}/\mu_0 \rightarrow \vec{H}$。 [[5 - 位移电流|前置-位移电流]] | [[3 - 安培环路定理|前置-安培环路定理]] | [[2 - 电磁波|后置-电磁波]] --- ## 麦克斯韦方程组知识图谱 ![[麦克斯韦方程组知识图谱.png]]