10 - 频率响应

频率响应

电路对不同频率正弦激励的响应特性。

网络函数

$H(j\omega )=\frac{\dot{Y}}{\dot{X}}=|H(j\omega )|\angle \phi (\omega )$

• $\dot{X}$：激励相量，$\dot{Y}$：响应相量
• $|H(j\omega )|$：幅频响应
• $\phi (\omega )$：相频响应
• 以网络函数中 $j\omega$ 的最高次方的次数定义网络函数的阶数

谐振

电路中感抗与容抗相消，端口呈纯电阻性。

串联谐振

$j{\omega }_{0}L+\frac{1}{j{\omega }_{0}C}=0\Rightarrow {\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$

• 谐振时阻抗最小：$Z=R$

• 电流最大：$I=U_s/R$ (电流电压同相)

• 品质因数：$Q=\frac{{\omega }_{0}L}{R}=\frac{1}{{\omega }_{0}CR}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{\rho }{R}$

• ${\dot{U}}_L=j{\omega }_{0}L\dot{I}=\frac{j{\omega }_{0}L{\dot{U}}_s}{R}=jQ{\dot{U}}_s,{\dot{U}}_C=-jQ{\dot{U}}_s$，$U_L=U_C=Q{U}_s$

• 特性阻抗：$\rho =\sqrt{\frac{L}{R}}$ 若$\rho >R$会发生过电压

• 有功功率 $P=\frac{U^2}{R}$ ，无功功率 $Q=0$ (最大功率)

• 电容和电感周期性交换能量，总能量为 $C{Q}^2{U}^2=\frac{1}{2}L{I}_m^2=\frac{1}{2}C{U}_m^2$

• $Q=\frac{2\pi }{T_0}\frac{L{I}^2}{R{I}^2}=2\pi \frac{电磁总储能}{一个周期内的耗能}$ 反映电磁振荡程度。

串联电路的频率响应

$\eta =\frac{\omega }{{\omega }_0}$ ，$H_R(j\omega )=\frac{{\dot{U}}_R}{{\dot{U}}_s}=\frac{R}{R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}=\frac{1}{1+jQ\left(\eta -\frac{1}{\eta }\right)}$

带宽$BW$ (通带的$\omega$范围) $|H_R(j\eta )|\ge \frac{1}{\sqrt{2}}=0.707\Rightarrow {\eta }_1\le \eta \le {\eta }_2\Rightarrow {\omega }_1\le \omega \le {\omega }_2$

通频带：$BW=2\pi f_B=\Delta \omega =\frac{{\omega }_0}{Q}$

$Q$ 越大，电路带宽越小，抑非能力越强(选择性高)

并联谐振

$Y=G+j\omega C+\frac{1}{j\omega L}$ $j\omega C+\frac{1}{j\omega L}=0\Rightarrow {\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$

• 谐振时阻抗最大：$Z=R$（理想情况）
• 电压最大
• 品质因数：$Q=\frac{I_L}{I_s}=\frac{R}{{\omega }_{0}L}={\omega }_{0}CR=R\sqrt{\frac{C}{L}}$