12 - 一阶电路和二阶电路的时域分析

一阶电路和二阶电路的时域分析

动态电路

含有动态元件（电容 C 和 电感 L）的电路称为动态电路。

动态电路的方程

RC 串联电路方程

$\boxed{RC\frac{d{u}_C}{dt}+u_C=u_S(t)}$

RL 串联电路方程

$\boxed{Ri+L\frac{di}{dt}=u_S(t)}$

• 含有一个动态元件的线性电路 → 一阶线性常微分方程 → 一阶电路
• 动态电路（方程）的阶数通常等于电路中动态元件的个数

电路的初始条件

换路

• 0⁻：换路前一瞬间（t < 0）
• 0⁺：换路后一瞬间（t > 0）
• 认为换路在 t = 0 时刻进行 $f(0^{-})={\lim }_{t\to 0^{-}}f(t)f(0^{+})={\lim }_{t\to 0^{+}}f(t)$

换路定律

电容的初始条件 $u_C(0^{+})=u_C(0^{-})\text{（电荷守恒）}$ 电感的初始条件 $i_L(0^{+})=i_L(0^{-})\text{（磁链守恒）}$

• 电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件
• 换路定律反映了能量不能跃变

初始值确定步骤

• $t=0^{-}$ 稳态求 $0^{-}$ 条件 $u_c(0^{-}),i_l(0^{-})$
• 环路定理
• $t=0^{+}$ 求物理量可把电容等效为电压源、电感等效为电流源求解电路

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一阶电路的零输入响应

零输入响应：换路后外加激励为零，仅有动态元件初始储能产生的电压和电流（断开电源）

RC 电路的零输入响应

初始条件 $u_C(0^{+})=U_0$，$RC\frac{d{u}_C}{dt}+u_C=0$ $\boxed{u_C=U_0{e}^{-t/\tau }(t>0)}$ $\boxed{i=\frac{U_0}{R}{e}^{-t/RC}=I_0{e}^{-t/\tau }(t>0)}$ 时间常数 $\tau =RC(s)$ 物理意义：衰减到初值 $36.8\%$ 所需要的时间。工程认为 $3\tau \to 5\tau$ 过渡期结束

能量关系：电容不断释放能量被电阻吸收，直到全部消耗

RL 电路的零输入响应

$L\frac{d{i}_L}{dt}+R{i}_L=0$ $\boxed{i_L(t)=I_0{e}^{-\frac{R}{L}t}(t>0)}$ $\boxed{u_L(t)=L\frac{d{i}_L}{dt}=-R{I}_0{e}^{-\frac{R}{L}t}(t>0)}$ 时间常数

$\tau =\frac{L}{R}$

能量关系：电感不断释放能量被电阻吸收，直到全部消耗完毕。

总结

$Y=Y(0^{+})e^{-t/\tau }$

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一阶电路的零状态响应

零状态响应：动态元件初始能量为零，由 t > 0 时刻电路中外加激励作用所产生的响应（接入电源）

RC 电路的零状态响应

$RC\frac{d{u}_C}{dt}+u_C=U_S$ $\boxed{u_C=U_S(1-e^{-t/RC})(t>0)}$ $\boxed{i=\frac{U_S}{R}{e}^{-t/RC}(t>0)}$ 特性：

• 电容电压由稳态分量（强制分量）和瞬态分量（自由分量）构成
• 变化快慢由 $\tau =RC$ 决定

能量关系：电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。

RL 电路的零状态响应

$L\frac{d{i}_L}{dt}+R{i}_L=U_S$ $\boxed{i_L=\frac{U_S}{R}(1-e^{-t/(L/R)})(t>0)}$ $\boxed{u_L=L\frac{d{i}_L}{dt}=U_S{e}^{-t/(L/R)}(t>0)}$

总结

不可跃变量 $Y=Y(\infty )(1-e^{-t/\tau })$ 可跃变量 $X=X(0^{+})e^{-t/\tau }$

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一阶电路的全响应

全响应：电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。

全响应

$RC\frac{d{u}_C}{dt}+u_C=U_S$ $u_C=U_S+(U_0-U_S)e^{-t/\tau }(t>0)$ 其中 $\tau =RC$

全响应的两种分解方式

分解方式一： $u_C=\underset{\text{稳态解}}{\underbrace{U_S}}+\underset{\text{瞬态解}}{\underbrace{(U_0-U_S)e^{-t/\tau }}}$ 分解方式二： $u_C=\underset{\text{零状态响应}}{\underbrace{U_S(1-e^{-t/\tau })}}+\underset{\text{零输入响应}}{\underbrace{U_0{e}^{-t/\tau }}}$

三要素法分析一阶电路

一阶电路的数学模型：$a\frac{df}{dt}+bf=c$ 其解答一般形式为：

$\boxed{f(t)=f(\infty )+[f(0^{+})-f(\infty )]e^{-t/\tau }}$

三要素：

f(\infty)\to稳态解(t\to \infty的稳态电路) \\ f(0^{+})\to初始值(0^{+}等效电路) \\ 时间常数\,\tau=R_{eq}C / \tau=\frac{L_{eq}}{R} \end{cases}$$ 在三要素法公式中： - $f(0^+)$ 是由**外施激励源和动态元件初始储能共同作用**产生的 - **零输入响应**的 $f(0^+)$ 是外施激励源为 0 时的值 - 仅对 $u_C$ 和 $i_L$，两种情况下的 $f(0^+)$ 才一定相等 > 注：对于非直流激励或高阶电路，利用**拉普拉斯变换法**分析更加有效。