13 - 阶跃与冲激 | 个人博客

一阶电路的阶跃响应

单位阶跃函数

单位阶跃函数的作用

起始一个函数： $f (t) \cdot ε (t - t_{0}) 使 f(t) 从 t₀ 开始$ 延迟一个函数： $sin (t - t_{0}) \cdot ε (t - t_{0})$ 表示复杂信号：如方波（宽度 t₀） $f (t) = ε (t) - ε (t - t_{0})$

一阶电路的单位阶跃响应

定义：激励为（单位）阶跃函数时，电路中产生的零状态响应。

RC 电路阶跃响应

$u_{C} (t) = (1 - e^{- t / RC}) ε (t)$ $i (t) = \frac{1}{R} e^{- t / RC} ε (t)$

注意 $\frac{1}{R} e^{- t / RC} ε (t)$ 与 $\frac{1}{R} e^{- t / RC} （ t > 0 ）$ 的区别！

延迟激励：当激励在 $t = t_{0}$ 加入时，响应从 $t_{0}$ 开始：（所有的 $t$ 替换为 $t - t_{0}$ ） $i (t) = \frac{1}{R} e^{- (t - t_{0}) / RC} ε (t - t_{0})$

一阶电路的冲激响应

单位冲激函数

定义（由脉冲函数取极限）： $δ (t) = lim_{Δ \to 0} \frac{1}{Δ} [ε (t + \frac{Δ}{2}) - ε (t - \frac{Δ}{2})]$ 性质： $δ (t) = 0 (t \neq = 0)$ $\int_{- \infty}^{\infty} δ (t) d t = 1$

延迟： $δ (t - t_{0}) = 0 (t \neq = t_{0})$ $\int_{- \infty}^{\infty} δ (t - t_{0}) d t = 1$

重要性质

① 冲激函数与阶跃函数互为导数/积分： $\frac{d ε ( t )}{d t} = δ (t)$ $\int_{- \infty}^{t} δ (ξ) d ξ = ε (t)$ ② 筛分性： $\int_{- \infty}^{\infty} f (t) δ (t) d t = f (0)$ $\int_{- \infty}^{\infty} f (t) δ (t - t_{0}) d t = f (t_{0})$