14 - 非正弦电路

非正弦周期电流电路和信号的频谱

非正弦周期信号

非正弦周期交流信号的特点：

1. 按周期规律变化：$f(t)=f(t+nT)$
2. 可进行傅里叶分解

傅里叶级数

$f(t)=A_0+{\sum }_{k=1}^{\infty }{A}_{km}\cos (k{\omega }_{1}t+{\phi }_k)$

• $A_0$：直流分量
• $k=1$：基波（基频 ${\omega }_1=2\pi /T$）
• $k\ge 2$：谐波（第 $k$ 次谐波，频率为 $k{\omega }_1$）

周期为 $T$ 的非正弦周期函数可以分解为直流分量和一系列不同频率的正弦分量之和。

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有效值、平均值和平均功率

非正弦周期函数的有效值

设非正弦周期电流为： $i(t)=I_0+{\sum }_{k=1}^{\infty }{I}_{km}\cos (k{\omega }_{1}t+{\phi }_k)$ 有效值定义：

$I=\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T{i}^2(t)dt}$ 利用三角函数的正交性（不同频率的余弦乘积在一个周期内积分为零）： $\boxed{I=\sqrt{I_0^2+\sum _{k=1}^{\infty }{I}_k^2}=\sqrt{I_0^2+I_1^2+I_2^2+\cdots }}$ 其中 $I_k=I_{km}/\sqrt{2}$ 为第 $k$ 次谐波的有效值。

结论：周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。

同理对电压： $U=\sqrt{U_0^2+U_1^2+U_2^2+\cdots }$

非正弦周期函数的平均值

$I_{av}=\frac{1}{T}{\int }_0^T|i(t)|dt$

正弦量的平均值：$I_{av}=\frac{1}{T}{\int }_0^T|I_m\cos \omega t|dt=\frac{2I_m}{\pi }=0.637I_m$

平均功率

$P=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}u\cdot idt$ 利用三角函数正交性： $\boxed{P=U_0{I}_0+\sum _{k=1}^{\infty }{U}_k{I}_k\cos {\phi }_k}$ $P=P_0+P_1+P_2+\cdots$ 其中 ${\phi }_k={\phi }_{uk}-{\phi }_{ik}$ 为第 $k$ 次谐波的电压与电流的相位差。

结论：平均功率 = 直流分量的功率 + 各次谐波的平均功率

不同频率的电压和电流之间不产生平均功率。

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非正弦周期电流电路的计算

傅里叶分解 + 叠加定理

计算步骤

• 傅里叶分解：将非正弦周期函数展开成若干种频率的谐波信号。
• 对各次谐波分别应用相量法计算：注意不同谐波的 $X_L$、$X_C$ 不同；直流时 $C$ 开路，$L$ 短路。
• 将各次谐波的计算结果转换为瞬时值，然后叠加（相加）。

注意：表示不同频率的相量直接相加是无意义的！必须转换为瞬时值后叠加。

傅里叶级数的指数形式

$f(t)={\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }{\dot{F}}_k{e}^{jk{\omega }_{1}t}$

其中：

${\dot{F}}_k=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{-jk{\omega }_{1}t}dt$

指数形式更加紧凑，在信号分析和频谱分析中更为方便。