15 - 拉普拉斯变换

线性动态电路的复频域分析

拉氏变换：求解高阶复杂动态电路方程

核心思想：把时域的高阶微分方程 → 复频域的代数方程 $F(s)\stackrel{\text{拉氏变换}}{\leftrightarrow }f(t)$

• $f(t)$：时域原函数（小写字母）
• $F(s)$：复频域象函数（大写字母）
• $s=\sigma +j\omega$（复频率）

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拉氏变换

正变换与反变换

$正\boxed{F(s)={\int }_{0^{-}}^{+\infty }f(t)e^{-st}dt}F(s)=L[f(t)]$

$反\boxed{f(t)=\frac{1}{2\pi j}{\int }_{c-j\infty }^{c+j\infty }F(s)e^{st}ds}f(t)=L^{-1}[F(s)]$

注意：积分下限从 $0^{-}$ 开始（$0^{-}$ 拉氏变换），可自动包含 $[0^{-},0^{+}]$ 内冲激函数的贡献。${\int }_{0^{-}}^{\infty }={\int }_{0^{-}}^{0^{+}}+{\int }_{0^{+}}^{\infty }$

常用函数的拉氏变换

$f(t)$	$F(s)$
$\epsilon (t)$	$\frac{1}{s}$
$\delta (t)$	$1$
$e^{-\alpha t}$	$\frac{1}{s+\alpha }$
$f(t)e^{-\alpha t}$	$F(s+\alpha )$	乘以指数$s\to s+\alpha$
$t^n\epsilon (t)$	$\frac{n!}{s^{n+1}}$	$L[t]=\frac{1}{s^2}，L[t^2]=\frac{2}{s^3}$
$\sin \omega t$	$\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$	${\int }_{0^{-}}^{\infty }\frac{1}{2j}(e^{j\omega t}-e^{-j\omega t})dt$
$\cos \omega t$	$\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$	${\int }_{0^{-}}^{\infty }\frac{1}{\omega }\frac{d\sin (\omega t)}{dt}$
$e^{-\alpha t}\sin \omega t$	$\frac{\omega }{(s+\alpha {)}^2+{\omega }^2}$
$e^{-\alpha t}\cos \omega t$	$\frac{s+\alpha }{(s+\alpha {)}^2+{\omega }^2}$
$t^n{e}^{-\alpha t}$	$\frac{n!}{(s+\alpha {)}^{n+1}}$
$f(t-t_0)\epsilon (t-t_0)$	$e^{-s{t}_0}F(s)$

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拉氏变换的基本性质

线性性质

$L[A_1{f}_1(t)+A_2{f}_2(t)]=A_1{F}_1(s)+A_2{F}_2(s)$

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微分性质

$\boxed{L\left[\frac{df(t)}{dt}\right]=sF(s)-f(0^{-})}$ 推广： $L[f^{\prime \prime }(t)]=s^{2}F(s)-sf(0^{-})-f^{\prime }(0^{-})$

这是将微分方程转化为代数方程的关键性质。

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积分性质

$\boxed{L\left[{\int }_{0^{-}}^{t}f(\xi )d\xi \right]=\frac{1}{s}F(s)}$

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延迟性质（时域平移）

$\boxed{L[f(t-t_0)\epsilon (t-t_0)]=e^{-s{t}_0}F(s)}$

$e^{-s{t}_0}$ 称为延迟因子。

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时域平移性质

$\boxed{L[e^{-\alpha t}f(t)]=F(s+\alpha )}$

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卷积定理

$L[f_1(t)\ast f_2(t)]=F_1(s)\cdot F_2(s)$

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拉氏反变换

• 定义
• 查表
• 部分分式展开

一般形式

$F(s)=\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{a_0{s}^m+a_1{s}^{m-1}+\cdots +a_m}{b_0{s}^n+b_1{s}^{n-1}+\cdots +b_n}$

若 $m\ge n$，先做长除法化为真分式 + 多项式。

$A\to A\delta (t)$

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情况一：$D(s)=0$ 有 $n$ 个不等实根 $p_1,p_2,\cdots ,p_n$

$F(s)=\frac{K_1}{s-p_1}+\frac{K_2}{s-p_2}+\cdots +\frac{K_n}{s-p_n}$ $\Rightarrow f(t)=(K_1{e}^{p_{1}t}+K_2{e}^{p_{2}t}+\cdots +K_n{e}^{p_{n}t})\epsilon (t)$ 求系数： 法一：$K_i=F(s)(s-p_i){|}_{s=p_i}$ 法二：$K_i=\frac{N(p_i)}{D^{\prime }(p_i)}$

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情况二：$D(s)=0$ 有共轭复根 $p_{1,2}=\alpha \pm j\omega$

$F(s)=\frac{K_1}{s-(\alpha +j\omega )}+\frac{K_2}{s-(\alpha -j\omega )}$ $K_{1,2}=\frac{N(\alpha \pm j\omega )}{D^{\prime }(\alpha \pm j\omega )}\Rightarrow K_{1,2}共轭$，设 $K_1=|K|e^{j\theta }$，$K_2=|K|e^{-j\theta }$，则$f(t)=|K|e^{j\theta }{e}^{\alpha +j\omega t}+|K|e^{-j\theta }{e}^{\alpha -j\omega t}=|K|e^{\alpha t}(e^{j(\omega t+\theta )}+e^{j(-\omega t-\theta )})$ $\boxed{f(t)=2|K|e^{\alpha t}\cos (\omega t+\theta )\epsilon (t)}$

补充：也可用配方法

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情况三：$D(s)=0$ 有 $n$ 重根 $p_1$

$F(s)=\frac{K_{11}}{s-p_1}+\frac{K_{12}}{(s-p_1{)}^2}+\cdots +\frac{K_{1n}}{(s-p_1{)}^n}$ 求系数： $K_{1i}=\frac{1}{(n-i)!}\cdot \frac{d^{n-i}}{d{s}^{n-i}}\left[(s-p_1{)}^{n}F(s)\right]{|}_{s=p_1}$

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运算电路

基尔霍夫定律的运算形式

$\sum I(s)=0\text{(KCL)}，\sum U(s)=0\text{(KVL)}$

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电路元件的运算形式

电阻 $R$

$U(s)=RI(s)$ 运算阻抗 $Z(s)=R$，运算导纳 $Y(s)=G$

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电感 $L$

对 $u=L\frac{di}{dt}$ 取拉氏变换（微分性质）： $\boxed{U(s)=sLI(s)-Li(0^{-})}$ $Z(s)=sL,Y(s)=\frac{1}{sL}$

初始电流 $i(0^{-})$ 体现为附加电压源 $Li(0^{-})$ 或附加电流源 $\frac{i(0^{-})}{s}$。

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电容 $C$

对积分关系取拉氏变换： $\boxed{I(s)=sCU(s)-Cu(0^{-})}$ $\boxed{U(s)=\frac{1}{sC}I(s)+\frac{u(0^{-})}{s}}$ $Z(s)=\frac{1}{sC},Y(s)=sC$

初始电压 $u(0^{-})$ 体现为附加电压源 $\frac{u(0^{-})}{s}$ 或附加电流源 $Cu(0^{-})$。

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耦合电感

$\{\begin{array}{l}{U}_1(s)=s{L}_1{I}_1(s)-L_1{i}_1(0^{-})+sM{I}_2(s)-M{i}_2(0^{-})\\ U_2(s)=s{L}_2{I}_2(s)-L_2{i}_2(0^{-})+sM{I}_1(s)-M{i}_1(0^{-})\end{array}$

• 互感运算阻抗 $Z_M(s)=sM$
• 附加电源 $M{i}_1(0^{-})$、$M{i}_2(0^{-})$ 的方向与 $i_1$、$i_2$ 参考方向有关
• 也可先 T 型去耦，再利用电感运算形式

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受控源的运算形式

控制量和被控制量直接取拉氏变换即可，形式不变。

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RLC 串联电路的运算形式

时域方程：$u=iR+L\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}\int idt$ 取拉氏变换： $U(s)=I(s)R+sLI(s)-Li(0^{-})+\frac{1}{sC}I(s)+\frac{u_C(0^{-})}{s}$ 运算阻抗： $\boxed{Z(s)=R+sL+\frac{1}{sC}}$ 运算形式的欧姆定律： $\boxed{U(s)=Z(s)I(s),I(s)=Y(s)U(s)}$

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运算电路小结

1. 电压、电流用象函数形式
2. 元件用运算阻抗或运算导纳表示
3. 电容电压和电感电流初始值用附加电源表示

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应用运算法分析线性电路

计算步骤

1. 由换路前的电路计算 $u_C(0^{-})$、$i_L(0^{-})$
2. 画出换路后的运算电路模型（注意附加电源方向）
3. 应用各种电路分析方法（节点法、回路法等）求象函数
4. 对象函数做拉氏反变换求原函数

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两点重要结论

1. 本章用 $0^{-}$ 拉氏变换，$0^{-}$ 到 $0^{+}$ 的跳变自动包含在内
2. 磁链守恒：$L_1{i}_1(0^{-})+L_2{i}_2(0^{-})=(L_1+L_2)i_1(0^{+})$