6 - 相量法

相量法

正弦量

$u(t)=U_m\cos (\omega t+\phi )$

参数	含义
$U_m$	幅值（最大值）
$\omega$	角频率，$\omega =2\pi f$
$\phi$	初相位

有效值：$U=\frac{U_m}{\sqrt{2}}$

两个同频率正弦量的相位差等于初相之差：${\phi }_{12}={\phi }_1-{\phi }_2$

相量表示

正弦量与相量的对应关系： $u(t)=U_m\cos (\omega t+\phi )⟷\dot{U}=U{e}^{j\phi }=U\angle \phi$

正弦量的微分与积分仍为同频率正弦量，对应相量域中的代数运算：

$\frac{du}{dt}⟷j\omega \dot{U}\int udt⟷\frac{\dot{U}}{j\omega }$

相量图

将各相量画在复平面上，模长为幅值，角度为初相，直观表示各正弦量的相位关系。

• 相量加减：平行四边形法则或首尾相接
• KVL：回路中各电压相量首尾相连构成闭合多边形
• KCL：节点处各电流相量首尾相连构成闭合多边形

绘制技巧

以参考相量（通常取并联元件的电压或串联电路的电流）为实轴，沿相位关系逐一画出其余相量。

阻抗与导纳

阻抗

元件在相量域中电压与电流的比值： $Z=\frac{\dot{U}}{\dot{I}}$

元件	阻抗
电阻 $R$	$Z_R=R$
电感 $L$	$Z_L=j\omega L$ (电感的电压超前电流九十度)
电容 $C$	$Z_C=\frac{1}{j\omega C}$ (电容的电压滞后电流九十度)

一般形式：$Z=R+jX$

• $R$：电阻（实部）
• $X$：电抗（虚部），$X_L=\omega L>0$，$X_C=-\frac{1}{\omega C}<0$

导纳

$Y=\frac{1}{Z}=G+jB$

• $G$：电导（实部）
• $B$：电纳（虚部）

相量形式的基尔霍夫定律

$\text{KCL：}\sum {\dot{I}}_k=0\text{KVL：}\sum {\dot{U}}_k=0$

形式与直流电路完全相同，只是把电压电流换成相量。

相量域的电路分析

直流电路中的分析方法全部适用：

方法	直流形式	相量形式
欧姆定律	$U=IR$	$\dot{U}=\dot{I}Z$
串并联	$R_{eq}=\sum R_k$	$Z_{eq}=\sum Z_k$（串联）
分压	$U_k=\frac{R_k}{R_{eq}}{U}_S$	${\dot{U}}_k=\frac{Z_k}{Z_{eq}}{\dot{U}}_S$
戴维宁	$U_{oc}$，$R_{eq}$	${\dot{U}}_{oc}$，$Z_{eq}$