7 - 正弦稳态功率

正弦稳态功率

瞬时功率

$p(t)=u(t)i(t)=UI\cos \phi +UI\cos (2\omega t+\phi )$

• $\phi ={\phi }_u-{\phi }_i$：电压超前电流的相位差
• 第一项为恒定分量，第二项为以 $2\omega$ 振荡的分量

有功功率（平均功率）

$P=UI\cos \phi (\text{W})$

• $\cos \phi$：功率因数
• 纯电阻：$\phi =0$，$P=UI$
• 纯电感/电容：$\phi =\pm 90°$，$P=0$

有功功率守恒

$\sum P_{\text{发出}}=\sum P_{\text{吸收}}$

无功功率

$Q=UI\sin \phi (\text{var})$

• 电感吸收无功：$Q_L>0$
• 电容发出无功：$Q_C<0$
• LC 并联可就地补偿无功

视在功率

$S=UI(\text{VA})$

三者关系： $S=\sqrt{P^2+Q^2}=I^2|Z|\cos \phi =\frac{P}{S}$

功率因数的提高

并联电容补偿无功，使 $\cos \phi$ 提高到目标值 $\cos {\phi }^{\prime }$：

$C=\frac{P(\tan \phi -\tan {\phi }^{\prime })}{\omega U^2}$

推导：并联电容前后 $P$ 不变，无功从 $Q$ 降为 $Q^{\prime }$： $Q^{\prime }=P\tan {\phi }^{\prime }{Q}_C=Q-Q^{\prime }=P(\tan \phi -\tan {\phi }^{\prime })$ 电容提供的无功 $Q_C=\omega C{U}^2$，解得 $C$。 $\tan \phi =\frac{Q}{P}$，$I_C=\frac{U}{\frac{1}{\omega C}}$

注意

并联电容不影响负载的有功功率和工作状态，只减小总电流。

复功率

$\tilde{S}=\dot{U}{\dot{I}}^{\ast }=UI\angle {\phi }_u-{\phi }_i=P+jQ$

${\dot{I}}^{\ast }$ 为电流相量的共轭。复功率的模等于视在功率 $S$，实部为有功功率 $P$，虚部为无功功率 $Q$。

最大功率传输

正弦稳态下，当负载阻抗 $Z_L$ 与戴维宁等效阻抗 $Z_{eq}$ 共轭匹配时有功功率最大：

$Z_L=Z_{eq}^{\ast }⟺R_L=R_{eq},X_L=-X_{eq}$ $\Rightarrow P_{max}=\frac{U_{oc}^2}{4R_{eq}}$