9 - 变压器

变压器

变压器基本结构

原边（一次侧）和副边（二次侧）绕组绕在同一铁芯上，通过磁耦合传递能量。

记号：原边阻抗 $Z_{11}=R_1+j\omega L_1$，副边阻抗 $Z_{22}=R_2+j\omega L_2+Z$

方程法

以耦合电感为模型，列写原副边的 KVL 方程：

$$\{\begin{array}{l}(R_1+j\omega L_1){\dot{I}}_1-j\omega M{\dot{I}}_2={\dot{U}}_s\\ -j\omega M{\dot{I}}_1+(R_2+Z+j\omega L_2){\dot{I}}_2=0\end{array}$$ $$\Rightarrow \{\begin{array}{l}{\dot{I}}_1=\frac{{\dot{U}}_s}{Z_{11}+\frac{(\omega M{)}^2}{Z_{22}}}\\ {\dot{I}}_2=\frac{1}{Z_{22}+\frac{(\omega M{)}^2}{Z_{11}}}\cdot \frac{j\omega M}{Z_{11}}{\dot{U}}_s\end{array}$$

原边输入阻抗：$Z_{in}=Z_{11}+\frac{(\omega M{)}^2}{Z_{22}}$

等效电路法

副边对原边的引入阻抗

$Z_l=\frac{(\omega M{)}^2}{Z_{22}}=R_l+j{X}_l$

• $R_l$ 恒正：副边吸收的功率由原边提供
• $X_l$ 恒负：引入电抗与副边电抗性质相反
• 电源有功 $P=I_1^2(R_1+R_l)$，第一项消耗在原边，第二项传递到副边

原边对副边的引入阻抗

$Z_l=\frac{(\omega M{)}^2}{Z_{11}}{\dot{U}}_{oc}=\frac{j\omega M}{Z_{11}}{\dot{U}}_s$ ${\dot{U}}_{oc}$ 为二次侧开路时的互感电压。

T 型等效

理想变压器

无损耗、全耦合（$k=1$）、$L_1,L_2\to \infty$，匝数比 $n=\frac{N_1}{N_2}$ 保持有限值。$\left(L\propto n^2,\sqrt{\frac{L_1}{L_2}}=\frac{n_1}{n_2}\right)$

$\frac{{\dot{U}}_1}{{\dot{U}}_2}=n\frac{{\dot{I}}_1}{{\dot{I}}_2}=\frac{1}{n}$

• 既不储能也不耗能，只起传递信号和能量的作用
• 特性方程为代数关系，是无记忆的多端元件

阻抗变换

副边接 $Z_L$，原边等效阻抗： $Z_{in}=n^2{Z}_L$

阻抗变换只改变大小，不改变性质。