4 - Elementary Complex Function 初等复函数

初等复函数 Elementary Complex Function

欧拉公式

Euler's Formula

$e^{iy}=\cos y+i\sin y$

特例：$e^{i\pi }=-1$

指数函数

Complex Exponential

$\exp z=e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)$

$|\exp z|=e^x$，$\text{Arg}z=y+2k\pi$

对数函数

Complex Logarithm（多值函数）

$\text{Ln}z=\ln |z|+i\text{Arg}z$

取主部 $\ln z=\ln |z|+i\arg z$，则为单值函数。

推导：

$e^{u+iv}=z=|z|e^{i\theta }\Rightarrow e^u=|z|,v=\theta$

乘幂与幂函数

Complex Power

$z_1^{z_2}=e^{z_2\text{Ln}{z}_1}$

$\text{Ln}{z}_1=\ln |z_1|+i(\arg z_1+2k\pi )$ 为多值函数。

三角函数

Complex Trigonometric Functions

$\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$ $\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ $\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}=\frac{1}{i}\cdot \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{e^{iz}+e^{-iz}}$

与双曲函数的关系

$\cos (iy)=\cosh y,\sin (iy)=i\sinh y$

$\cos (x+iy)=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y$

$\sin (x+iy)=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y$

有界性

函数	复平面上有界性
$\cos z,\sin z$	无界（偏离实轴 $y\to \infty$ 时模长 $\to \infty$）
$\tan z$	有界（偏离实轴 $y\to \infty$ 时模长 $\to 1$）

$e^{iz}=e^{-y}(\cos x+i\sin x)$，模长主要取决于虚轴上 $y$ 的取值。

反三角函数

反余弦

$\arccos z=-i\text{Ln}(z+i\sqrt{1-z^2})$

推导：

$\cos \theta =\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}=z\Rightarrow e^{i\theta }=z+\sqrt{z^2-1}$

$\sqrt{z^2-1}$ 为双值函数。