1 - 前言 Preface

函数是一种变换（输入到输出）

$f(x_1,x_2,\dots ,x_m)=\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ \dots \\ y_n\end{array}\right]$ ： $m维输入\Rightarrow n维输出的变换$

可视化方法： $\{\begin{array}{l}m+n维，绘制输入与输出，如：f(x,y)立体图(输入(x,y)，输出z)\\ n维，只绘制输出，如：参数方程f(t,s)=\left[\begin{array}{c}x(t,s)\\ y(t,s)\\ z(t,s)\end{array}\right]\\ m维，把输出作为向量附加到输入的每个点上，即向量场(如粒子的速度场)/等高线图\end{array}$

在一点求导本质是一个线性变换，它把 n 维变化映射为 m 维变化(可以用雅可比矩阵表示)，是对函数局部的线性化 $\vec{F}(\vec{v}+d\vec{v})=\vec{F}(\vec{v})+\vec{L}(d\vec{v})+o(|d\vec{v}|)$ $\Rightarrow d\vec{F}=\vec{L}(d\vec{v})=\vec{J}d\vec{v}$ $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$，经过求导变换$f^{\prime }:{\mathbb{R}}^n\to \mathcal{L}({\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^m)$，$\dim \mathcal{L}({\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^m)=m\times n$为所有线性变换构成的空间

二维叉积（伪标量，实则为有向面积）

a \\ b \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}=ad-bc$$