7 - 雅可比矩阵 Jacobian Matrix

雅可比矩阵 Jacobian Matrix

定义

雅可比矩阵

设函数 $\mathbf{f}:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$，其分量形式为：

$\mathbf{f}(\mathbf{x})=\left(f_1(x_1,\dots ,x_n),f_2(x_1,\dots ,x_n),\dots ,f_m(x_1,\dots ,x_n)\right)$

则 $\mathbf{J}$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $J_{ij}=\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$

完整写为：

$\mathbf{J}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \frac{\partial f_1}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}& \frac{\partial f_2}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}& \frac{\partial f_m}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{array}\right]$

常见情形

情形	条件	说明
标量场	$m=1,n>1$	退化为梯度（行向量）：$\nabla f=\left[\frac{\partial f}{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right]$
向量场	$m=n$	方阵，其行列式为雅可比行列式（Jacobian determinant），用于变量替换中的面积/体积变换因子

二维示例

设 $f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$：

$f(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{c}{f}_1(x,y)\\ f_2(x,y)\end{array}\right]$

发生二维输入微小变化 $(dx,dy)$ 时，输出变化为：

$\left[\begin{array}{c}d{f}_1\\ d{f}_2\end{array}\right]=\underset{J_f}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial f_1}{\partial x}& \frac{\partial f_1}{\partial y}\\ \frac{\partial f_2}{\partial x}& \frac{\partial f_2}{\partial y}\end{array}\right]}}\left[\begin{array}{c}dx\\ dy\end{array}\right]$

Quote

在一点求导本质是一个线性变换，它把 $n$ 维变化映射为 $m$ 维变化（可以用雅可比矩阵表示），是对函数局部的线性化。