8 - 雅可比行列式 Jacobian Determinant

雅可比行列式 Jacobian Determinant

定义

雅可比行列式

变换 $\mathbf{f}:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$，雅可比矩阵为 $\mathbf{J}$，则雅可比行列式为 $|\mathbf{J}|$

若 $m\ne n$（非方阵），一般处理为：

• $m>n$：$\sqrt{|J^{T}J|}$（$n$ 维到 $m$ 维的缩放系数）
• $m<n$：$\sqrt{|J{J}^T|}$

几何意义

行列式的绝对值衡量线性变换对体积的缩放程度。雅可比行列式就是这个局部缩放系数，反映了映射过程中弧长/面积/体积的缩放。

极坐标变换

$f(r,\theta )=\left\{r\cos \theta ,r\sin \theta \right\}$

$(r,\theta )$ 平面上的面积微元 $drd\theta$ 映射到 $(x,y)$ 平面上的面积微元 $dxdy$，缩放系数为 $r$：

$rdrd\theta =dxdy$