2 - Positive Term Series 正项级数

正项级数 Positive Term Series

定义

正项级数

若从第 $k$ 项起，$\forall n\ge k$，均有 $a_n\ge 0$，则称 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 为正项级数。

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比较判别法

比较判别法

设 $0\le a_n\le b_n$（$\forall n\ge N$），则：

• $\sum b_n$ 收敛 $\Rightarrow$ $\sum a_n$ 收敛（大的收敛 $\Rightarrow$ 小的收敛）
• $\sum a_n$ 发散 $\Rightarrow$ $\sum b_n$ 发散（小的发散 $\Rightarrow$ 大的发散）

极限形式

设 $a_n>0$，$b_n>0$，且 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{b_n}=L$ 则：

• $0<L<+\infty$：$\sum a_n$ 与 $\sum b_n$ 同敛散
• $L=0$：$\sum b_n$ 收敛 $\Rightarrow$ $\sum a_n$ 收敛
• $L=+\infty$：$\sum b_n$ 发散 $\Rightarrow$ $\sum a_n$ 发散

常用比较对象

• $p$-级数：$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$，当 $p>1$ 收敛，$p\le 1$ 发散
• 调和级数：$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$（$p=1$，发散）

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比值判别法（达朗贝尔判别法 D’Alembert）

比值判别法

设 $a_n>0$，且 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\rho$ 则：

• $\rho <1$：$\sum a_n$ 收敛
• $\rho >1$（ $=+\infty$）：$\sum a_n$ 发散
• $\rho =1$：无法判断（需换其他方法）

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根值判别法（柯西判别法 Cauchy）

根值判别法

设 $a_n\ge 0$，且 ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{a_n}=\rho$ 则：

• $\rho <1$：$\sum a_n$ 收敛
• $\rho >1$（或 $=+\infty$）：$\sum a_n$ 发散
• $\rho =1$：无法判断

比值 vs 根值

一般根值法更强

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拉贝判别法 Raabe’s Test

拉贝判别法

当比值判别法失效（$\rho =1$）时使用。设 $a_n>0$，且 ${\lim }_{n\to \infty }n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)=R$ 则：

• $R>1$：$\sum a_n$ 收敛
• $R<1$：$\sum a_n$ 发散
• $R=1$：无法判断

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积分判别法 Integral Test

积分判别法

设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty )$ 上连续、正值、单调递减，且 $a_n=f(n)$，则： ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n\text{ 与 }{\int }_1^{+\infty }f(x)dx\text{ 同敛散}$

$p$-级数

${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}\text{与}{\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx\text{ 同敛散}$

• $p>1$：${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx=\frac{1}{p-1}<+\infty$，收敛
• $p\le 1$：发散

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判别法选择策略

情形	推荐方法
$a_n$ 含 $n!$、$a^n$ 等乘积形式	比值判别法
$a_n$ 含 $n$ 次幂（如 $(\frac{n}{2n+1}{)}^n$）	根值判别法
$a_n$ 为 $\frac{1}{n^p}$ 型或可与 $p$-级数比较	比较判别法（极限形式）
$a_n=f(n)$ 且 $f(x)$ 易积分	积分判别法
比值法 $\rho =1$，但 $\frac{a_n}{a_{n+1}}$ 偏离 $1$ 的速度可量化	拉贝判别法
所有判别法均失效	回归定义，考察部分和 $\{S_n\}$