7 - Fourier Series 傅里叶级数

傅里叶级数 Fourier Series

正交函数系

正交函数

若 ${\int }_a^{b}u(x)v(x)dx=0$，则称 $u(x)$ 与 $v(x)$ 在 $[a,b]$ 上正交。

正交函数系

函数列 $\{u_n(x)\}$ 定义在 $[a,b]$ 上，若 ${\int }_a^b{u}_n(x)u_m(x)dx=\{\begin{array}{ll}\ne 0& n=m\\ =0& n\ne m\end{array}$ 则称 $\{u_n(x)\}$ 为正交函数系。

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三角函数系的正交性

三角函数系

函数系 $\{1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\dots ,\cos nx,\sin nx,\dots \}$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上正交

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傅里叶级数的定义

傅里叶级数

设 $f(x)$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上可积，则傅里叶级数为 $f(x)\sim \frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$ 其中系数为：

$$\begin{array}{rl}{a}_n& =\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots )\\ b_n& =\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,\dots )\end{array}$$

$a_n$、$b_n$ 称为 $f(x)$ 的傅里叶系数。

奇偶函数的简化

• 若 $f(x)$ 为奇函数：$a_n=0$，级数为正弦级数 $f(x)\sim \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx$
• 若 $f(x)$ 为偶函数：$b_n=0$，级数为余弦级数 $f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos nx$

谐波分析

• $\frac{a_0}{2}$：直流分量（非正弦波的常数项）
• $a_1\cos \omega x+b_1\sin \omega x$：基波（与 $f(x)$ 同频）
• $a_n\cos n\omega x+b_n\sin n\omega x=A_n\sin (n\omega x+{\phi }_n)$：$n$ 阶谐波（$A_n$ 为振幅频谱）

复数形式中：$|c_n|=|c_{-n}|=\frac{1}{2}\sqrt{a_n^2+b_n^2}=\frac{1}{2}{A}_n$

可将各阶谐波的振幅与频率的函数关系画出频谱图。

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Dirichlet 收敛定理

Dirichlet 条件

设 $f(x)$ 以 $2\pi$ 为周期，在 $[-\pi ,\pi ]$ 上满足：

1. 只有有限个第一类间断点
2. 只有有限个极值点

则 $f(x)$ 的傅里叶级数处处绝对收敛，且在：

• 连续点：级数收敛到 $f(x)$
• 间断点：级数收敛到 $\frac{f(x^{+})+f(x^{-})}{2}$
• 端点（周期延拓后的间断点）：收敛到 $\frac{f(-{\pi }^{+})+f({\pi }^{-})}{2}$

注意

Dirichlet 条件是充分条件，不是必要条件。很多不满足该条件的函数，其傅里叶级数仍然收敛。

吉布斯现象

用无限个光滑正弦波去逼近具有跳变的信号时，在跳变点附近必然产生无法消除的过冲：

• 高度固定：无论叠加多少项，最大过冲始终约为跳变幅度的 9%
• 宽度收缩：项数增加时，过冲不变矮，只会变窄并向跳变点压缩

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延拓

延拓的核心思想

傅里叶级数要求函数定义在完整周期 $[-\pi ,\pi ]$ 上，但实际问题中 $f(x)$ 不一定有完整定义。 此时一般构造辅助函数 $F(x)$ 满足 Dirichlet 条件，将其展开为傅里叶级数并限制定义域。

延拓后再进行周期延拓（以 $2\pi$ 为周期向两侧重复），即为傅里叶级数所表示的函数。

偶延拓（余弦级数）

偶延拓

设 $f(x)$ 仅在 $[0,\pi ]$ 上有定义，若将其偶延拓到 $[-\pi ,0]$（即 $f(-x)=f(x)$），则：

• $b_n=0$（奇函数在对称区间积分为零）
• 级数为余弦级数： $f(x)\sim \frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n\cos nx$ 其中 $a_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots )$

奇延拓（正弦级数）

奇延拓

设 $f(x)$ 仅在 $[0,\pi ]$ 上有定义，若将其奇延拓到 $[-\pi ,0]$（即 $f(-x)=-f(x)$），则：

• $a_n=0$（偶函数在对称区间积分为零）
• 级数为正弦级数： $f(x)\sim {\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx$ 其中 $b_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,\dots )$

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周期 $2l$ 的傅里叶级数

一般周期

设 $f(x)$ 以 $2l$ 为周期，在 $[-l,l]$ 上满足 Dirichlet 条件，则 $f(x)\sim \frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l}\right)$ 其中

$$\begin{array}{rl}{a}_n& =\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx(n=0,1,2,\dots )\\ b_n& =\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx(n=1,2,\dots )\end{array}$$

变量代换

令 $t=\frac{\pi x}{l}$，可将周期 $2l$ 的问题化为周期 $2\pi$ 的标准形式。

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常见函数的傅里叶级数

函数	傅里叶级数
$f(x)=x$（$-\pi <x<\pi$）	$2\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}\sin nx$
$f(x)=x^2$（$-\pi <x<\pi$）	$\frac{{\pi }^2}{3}+4\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n^2}\cos nx$
$f(x)=\Vert x\Vert$（$-\pi <x<\pi$）	$\frac{\pi }{2}-\frac{4}{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\cos (2n-1)x}{(2n-1{)}^2}$
$f(x)=1$（常数）	$1$（仅有 $a_0/2=1$）

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复数形式

Euler 公式

$e^{inx}=\cos nx+i\sin nx$ 由此可得 $\cos nx=\frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2},\sin nx=\frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i}$

复数形式傅里叶级数

$f(x)\sim {\sum }_{n=-\infty }^{+\infty }{c}_n{e}^{inx}$ 其中复数傅里叶系数为 $c_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}dx(n\in \mathbb{Z})$

系数对应关系

$$\begin{array}{rl}{c}_0& =\frac{a_0}{2}\\ c_n& =\frac{a_n-i{b}_n}{2}(n>0)\\ c_{-n}& =\frac{a_n+i{b}_n}{2}=\overline{c_n}(n>0)\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{a}_n& =c_n+c_{-n}=2\mathrm{Re}(c_n)(n\ge 0)\\ b_n& =i(c_n-c_{-n})=-2\mathrm{Im}(c_n)(n\ge 1)\end{array}$$

优势

复数形式更简洁，在信号处理和物理学中使用更方便。

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Parseval 恒等式

Parseval 恒等式

设 $f(x)$ 的傅里叶级数为 $\frac{a_0}{2}+\sum (a_n\cos nx+b_n\sin nx)$，若 $f(x)$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上平方可积，则 $\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }|f(x){|}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_n^2+b_n^2)$

复数形式下： $\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }|f(x){|}^{2}dx={\sum }_{n=-\infty }^{+\infty }|c_n{|}^2$

信号的平均功率等于各次谐波功率之和。