3 - 复数法表示振动

复数法表示振动 Complex Representation

基本关系

复数的指数形式

$a+ib=\sqrt{a^2+b^2}{e}^{i\theta }$

复数表示振动

将旋转向量用复数表示，取实部相当于投影操作： $\tilde{x}=A{e}^{i(\omega t+\phi )}=A(\cos (\omega t+\phi )+i\sin (\omega t+\phi ))$

速度： $\tilde{v}=\frac{d\tilde{x}}{dt}=i\omega A{e}^{i(\omega t+\phi )}$

物理量的提取

Note

x=\mathrm{Re}(\tilde{x}) \\[4pt] v=\mathrm{Re}(\tilde{v}) \\[4pt] a=\mathrm{Re}(\tilde{a}) \\[4pt] A=\sqrt{\tilde{x}\cdot\tilde{x}^*} \end{cases}$$ 其中 $\tilde{x}^*$ 为共轭复数（把所有 $i$ 置负）。

优势

Tip

• 易于计算（微分变乘法）
• 易于处理振幅（共轭相乘消去虚部）