4 - 阻尼振动

阻尼振动 Damped Oscillation

运动方程

阻尼力与微分方程

阻尼力 $f=-\gamma v$，记 ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$，$2\delta =\frac{\gamma }{m}$： $m\ddot{x}=-kx-\gamma \dot{x}$ $\ddot{x}+2\delta \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$

复数法求解

设解 $\tilde{x}=A{e}^{i(\omega t+\phi )}$

代入得 $-{\omega }^2\tilde{x}+i2\delta \omega \tilde{x}+{\omega }_0^2\tilde{x}=0$，解得 $\omega =\pm \sqrt{{\omega }_0^2-{\delta }^2}+i\delta$

通解： $\tilde{x}=A{e}^{-\delta t}{e}^{i(\phi \pm \sqrt{{\omega }_0^2-{\delta }^2}t)}$

三种阻尼情形

欠阻尼 $\delta <{\omega }_0$

记 ${\omega }^{\prime }=\sqrt{{\omega }_0^2-{\delta }^2}$： $x=A{e}^{-\delta t}\cos ({\omega }^{\prime }t+{\Phi }_0)$ 振幅按 $e^{-\delta t}$ 衰减，仍做振荡。

过阻尼 $\delta >{\omega }_0$

记 $\omega =\sqrt{{\delta }^2-{\omega }_0^2}$： $x=A_1{e}^{(\omega -\delta )t}+A_2{e}^{(-\omega -\delta )t}$ 时间足够长时主要保留 $x=A_1{e}^{(\omega -\delta )t}$，不振荡，缓慢回到平衡位置。

临界阻尼 $\delta ={\omega }_0$

$x=(A_1+A_{2}t)e^{-\delta t}$ 振幅下降最快，最快回到平衡位置。