耦合振子 Coupled Oscillators
运动方程
微分方程组
设向右为正方向， 为左滑块位移， 为右滑块位移：
m\ddot{x}_1=-k_1 x_1-k_2(x_1-x_2) \\[4pt] m\ddot{x}_2=-k_1 x_2-k_2(x_2-x_1) \end{cases}$$
简正模式 Normal Mode
简正模式
所有振子以相同角频率 做同相或反相简谐振动。
设尝试解 ，，代入得：
\left(\dfrac{k_1+k_2}{m}-\omega^2\right)A_1-\dfrac{k_2}{m}A_2=0 \\[6pt] -\dfrac{k_2}{m}A_1+\left(\dfrac{k_1+k_2}{m}-\omega^2\right)A_2=0 \end{cases}$$ 系数行列式为零，解得两个**简正频率**： $$\omega_1=\sqrt{\frac{k_1}{m}}, \quad \omega_2=\sqrt{\frac{k_1+2k_2}{m}}$$
简正坐标
一般解
定义简正坐标 ，，则：
\ddot{Q}_1+\omega_1^2 Q_1=0 \\[4pt] \ddot{Q}_2+\omega_2^2 Q_2=0 \end{cases}$$ $$Q_1=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi_1), \quad Q_2=A_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2)$$ 还原为： $$\begin{cases} x_1=\dfrac{Q_1+Q_2}{2}=\dfrac{A_1}{2}\cos(\omega_1 t+\varphi_1)+\dfrac{A_2}{2}\cos(\omega_2 t+\varphi_2) \\[6pt] x_2=\dfrac{Q_1-Q_2}{2}=\dfrac{A_1}{2}\cos(\omega_1 t+\varphi_1)-\dfrac{A_2}{2}\cos(\omega_2 t+\varphi_2) \end{cases}$$ 每个质点的运动 = 各简正模式按一定比例叠加。
推广
个自由度的振动系统有 个简正模式、 个简正频率。