0 - 总结

叠加原理

叠加原理

库仑力、电场、电势均满足叠加原理（实验结论）。

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静电场的基本方程

Gauss 定理

${\oint }_S\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{\sum q}{{\epsilon }_0}$ $\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

电场环路定理

${\oint }_l\vec{E}\cdot d\vec{s}=0$ $\nabla \times \vec{E}=0$

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电势

电势 $\phi$

电场环路定理的负势函数： $\vec{E}=-\nabla \phi$

泊松方程

$\Delta \phi +\frac{\rho }{{\epsilon }_0}=0$

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电偶极子

电偶极矩

$\vec{p}=q\vec{l}$ 方向：从负电指向正电。

静电场中的力矩与能量

$\vec{M}=\vec{p}\times \vec{E},E_p=-\vec{p}\cdot \vec{E}$

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恒定电流

电流与电流密度

$I=\frac{dq}{dt},\vec{J}=\frac{dI}{dS}=nq{v}_d$

电流连续性方程

${\oint }_S\vec{J}\cdot d\vec{S}=I=-\frac{d{q}_{\text{内}}}{dt}$ $\nabla \cdot \vec{J}=-\frac{\partial {\rho }_{\text{内}}}{\partial t}$

恒定电流：$\nabla \cdot \vec{J}\equiv 0$

欧姆定律

$U=IR$ $\vec{J}=\frac{1}{\rho }\vec{E}=\sigma \vec{E}$

电动势

$\epsilon ={\int }_{-}^{+}{\vec{E}}_k\cdot d\vec{l}$

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电介质

极化强度

$\vec{P}=\frac{\sum \vec{p}}{dV}=nq\vec{l}$ 单位 $C\cdot m^{-2}$，表示电偶极矩的体密度。

${\oint }_S\vec{P}\cdot d\vec{S}=-q_{p\text{内}},\nabla \cdot \vec{P}=-{\rho }_{p\text{内}}$

极化电荷面密度

$\hat{n}$ 指向外侧： ${\sigma }_p=\vec{P}\cdot \hat{n}$

电位移矢量

$\vec{D}={\epsilon }_0\vec{E}+\vec{P}$ ${\oint }_S\vec{D}\cdot d\vec{S}=\sum q_{\text{自由}},\nabla \cdot \vec{D}={\rho }_{\text{自由}}$

各向同性线性电介质中（$\vec{E}$ 为总场强）： $\vec{D}={\epsilon }_0{\epsilon }_r\vec{E}$

电介质边界条件

• 极化电荷面密度为两侧极化强度法向分量之差
• 电场切向分量连续
• 无自由电荷时，$\vec{D}$ 法向连续；有自由电荷时，面密度为法向跃变差值
• 电位移线折射关系（无自由电荷，各向同性线性介质）

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电容与静电能

电容

$C=\frac{Q}{U},W=\frac{1}{2}C{U}^2$

静电能

$W=\frac{1}{2}{\iiint }_V\rho \phi dV$ 静电能 = 自能 + 互能，$\frac{1}{2}$ 因子是因为一对电荷计算了两次。

电场能量密度： $\omega =\frac{1}{2}{\epsilon }_0{\epsilon }_r{E}^2=\frac{1}{2}\vec{D}\cdot \vec{E}$