5 - 恒定电流公式汇总

恒定电流公式汇总

恒定电流一章核心公式。逻辑链：电流 → 欧姆定律 → 焦耳定律 → 电源与电动势

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1. 电流

电流强度

$$I=\frac{dq}{dt}=nqS{v}_d$$

电流密度

$$\vec{J}=nq{\vec{v}}_d$$

电流与电流密度的关系

$$I={\iint }_S\vec{J}\cdot d\vec{S}$$

电流连续性方程

$${\oint }_S\vec{J}\cdot d\vec{S}=-\frac{d{q}_{\text{内}}}{dt}$$

微分形式

$$\nabla \cdot \vec{J}=-\frac{\partial \rho }{\partial t}$$

恒定电流：$\nabla \cdot \vec{J}=0$，电流线闭合。

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2. 欧姆定律与电阻

欧姆定律

$$\boxed{U=IR}$$

微分形式（欧姆定律）

$$\boxed{\vec{J}=\sigma \vec{E}}$$

电阻公式

$$R=\rho \frac{l}{S}=\frac{1}{\sigma }\frac{l}{S}$$

电导率微观表达式

$$\sigma =\frac{n{q}^2\tau }{m}$$

符号	含义	单位
$\sigma$	电导率	S/m
$\rho =1/\sigma$	电阻率	$\Omega \cdot \text{m}$
$R$	电阻	$\Omega$
$\tau$	平均碰撞时间	s

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3. 焦耳定律

电功率

$$\boxed{P=UI=I^{2}R=\frac{U^2}{R}}$$

焦耳热

$$Q=I^{2}Rt$$

微分形式（功率密度）

$$\boxed{dP=\vec{J}\cdot \vec{E}=\sigma E^2}$$

$P=UI$ 通用，$P=I^{2}R$ 仅适用于纯电阻电路。

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4. 电源与电动势

电动势

$$\boxed{\mathcal{E}=\oint {\vec{E}}_k\cdot d\vec{l}={\int }_{-}^{+}\vec{E}\cdot d\vec{l}}$$

路端电压

$$U=\mathcal{E}-Ir$$

符号	含义	单位
$\mathcal{E}$	电动势	V
$r$	电源内阻	$\Omega$
$U$	路端电压	V

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公式脉络图

电流 ────→ 欧姆定律（电阻）────→ 焦耳定律
  │            │
  │            └──→ 电源与电动势 ────→ 路端电压 U = ε - Ir
  │
  └──→ 电流连续性方程 ∇·J = -∂ρ/∂t

知识图谱

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解题思路

1. 求电流/电阻：$I=\frac{U}{R}$，$R=\rho l/S$
2. 求焦耳热：$Q=I^{2}Rt$（纯电阻电路）
3. 含源电路：$U_{\text{路端}}=\mathcal{E}-Ir$，注意内外电路
4. 基尔霍夫定律：（扩展）KCL: $\sum I=0$，KVL: $\sum U=0$

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相关笔记：1 - 电流 | 2 - 电阻 | 3 - 焦耳定律 | 4 - 电源与电动势