9 - 运动电荷的磁场

运动电荷的磁场

单个点电荷以速度 $\vec{v}$ 运动时产生磁场，是毕奥-萨伐尔定律的微观形式。

公式

$$\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{q\vec{v}\times \hat{r}}{r^2}$$

一个运动电荷在空间某点产生的磁感应强度。(可知运动电荷产生的磁场与运动方向垂直)

符号	含义	单位
$q$	点电荷电量	C
$\vec{v}$	电荷运动速度（$v\ll c$）	m/s
$r$	到场点的距离	m
$\hat{r}$	从电荷指向场点的单位矢量	—
$\vec{B}$	磁感应强度	T

推导：

电流元 $Id\vec{l}$ 对应 $N$ 个电荷 $q$ 以速度 $\vec{v}$ 运动： $Id\vec{l}=\frac{dq}{dt}d\vec{l}=dq\frac{d\vec{l}}{dt}=dq\vec{v}$ 对于单个点电荷 $dq=q$： $d\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id\vec{l}\times \hat{r}}{r^2}\Rightarrow \vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{q\vec{v}\times \hat{r}}{r^2}$

适用条件

• 低速：$v\ll c$，不考虑相对论效应
• 匀速：电荷做匀速直线运动
• 若 $v$ 接近光速，需用相对论修正（李纳-维谢尔势）

当 $v\to 0$ 时 $B\to 0$，静止电荷只产生电场。正是电荷的运动产生磁场这一事实，揭示了电与磁的内在联系。

运动电荷产生的电场与磁场的关系

$$\vec{B}=\frac{\vec{v}\times \vec{E}}{c^2}$$

磁场总是垂直$\vec{v}\times \vec{E}$确定的平面

推导： ${\mu }_0{\epsilon }_0=c^{-2}$ $\vec{E}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}\hat{r}，\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{q\vec{v}\times \hat{r}}{r^2}\Rightarrow \vec{B}=\frac{\vec{v}\times \vec{E}}{c^2}$

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