电场分布

求解电场分布的三种方法：

高斯定理求解的关键：先定性判断对称性（球/柱/平面对称），确定 $E$ 方向，选择合适的高斯面，将点积简化为代数乘积。

点电荷

E = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q}{r ^{2}} \overset{r}{^}

高斯定理推导： $E \cdot 4 π r^{2} = \frac{q}{ε _{0}}$

电荷线密度 $λ$ ，距离轴线 $r$ 处：

E = \frac{λ}{2 π r ε _{0}}

高斯面：以导线为轴的圆柱面，侧面积 $2 π r l$ ， $E \cdot 2 π r l = \frac{λ l}{ε _{0}}$

E = \int_{- l /2}^{l /2} \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{λ d x}{x ^{2} + r ^{2}} \cdot \frac{r}{x ^{2} + r ^{2}} = \frac{λ l}{2 π ε _{0} r l ^{2} + 4 r ^{2}}

电荷面密度 $σ$ ：

E = \frac{σ}{2 ε _{0}} (匀强电场)

高斯面：跨越平面的柱体，上下底面面积为 $A$ ， $E \cdot 2 A = \frac{σ A}{ε _{0}}$

特征：与距离无关，形成匀强电场。平行板电容器内部即为两个无限大平面的叠加（板间 $E = σ / ε_{0}$ ，板外 $E = 0$ ）。

球壳内部电场为零，外部等价于点电荷。

E (r) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q}{r ^{2}}, r < R r \geq R