9 - 电势分布

电势分布

求解电势分布的三种方法：

方法	表达式	说明
叠加法	$\phi =\iiint \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{dq}{r}$	代数和，比电场叠加更容易
已知场强	$\phi =-{\int }_{r_0}^r\vec{E}\cdot d\vec{l}$	先求电场再积分
泊松方程	$\Delta \phi +\rho /{\epsilon }_0=0$	已知电荷分布求解

实际计算中往往先求电势，再通过 $\vec{E}=-\nabla \phi$ 反求电场——电势是标量，叠加为代数和，避免了矢量分解。

点电荷

$$\phi =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r}$$

均匀带电球壳

$$\phi (r)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{R},& r\le R\\ \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r},& r>R\end{array}$$

球壳内部电势为常数（等势体），外部等价于点电荷。

前置-电势 | 后置-泊松方程 | 平行-电场分布