5 - 高斯定理

高斯定理

静电场中，通过任意闭合曲面的电通量等于曲面内电荷代数和除以 ${\epsilon }_0$。

积分形式

$${\oint }_S\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{\sum q}{{\epsilon }_0}$$

等效形式：${\oint }_S\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{1}{{\epsilon }_0}{\iiint }_V\rho dV$，$\rho$ 为电荷体密度

微分形式

$$\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$$

物理意义：电场在某点的散度等于该点电荷体密度除以 ${\epsilon }_0$。静电场为有源场，源即电荷。

推导思路：利用叠加定理和立体角的概念，从单个点电荷在封闭曲面内的电通量出发推广。

应用核心：对称性分析 → 选择高斯面 → 简化积分 → 求解 $E$。

前置-电通量 | 平行-电场环路定理 | 后置-电场分布