12 - 泊松方程

泊松方程

电势 $\phi$ 满足的二阶偏微分方程，描述电势与电荷分布的关系。

泊松方程

$$\Delta \phi +\frac{\rho }{{\epsilon }_0}=0$$

其中 $\Delta ={\nabla }^2$ 为拉普拉斯算子

推导：

$$\Delta \phi =\nabla \cdot (\nabla \phi )=\nabla \cdot (-\vec{E})=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$$

当 $\rho =0$（无电荷区域）时退化为拉普拉斯方程：

$$\Delta \phi =0$$

泊松方程结合边界条件可唯一确定电势分布，是静电学的核心方程。

前置-电势分布