4 - 介质边界条件

介质边界条件

界面极化电荷面密度&极化强度法向

${\sigma }_p=P_{1n}-P_{2n}$ $介质1\to 介质2$为正法向

${\sigma }_p={\sigma }_{p1}+{\sigma }_{p2}={\vec{P}}_1\cdot \hat{n}+{\vec{P}}_2\cdot (-\hat{n})=P_{1n}-P_{2n}$

界面电场强度切向连续

$$E_{1\tau }=E_{2\tau }$$

${\oint }_l\vec{E}\cdot d\vec{l}=E_{1\tau }l-E_{2\tau }l=0（电场环路定理）$ $\Rightarrow E_{1\tau }=E_{2\tau }$

界面自由电荷面密度&电位移矢量法向

$${\sigma }_f=D_{2n}-D_{1n}$$

(取微小薄板) ${\oint }_S\vec{D}\cdot d\vec{S}=\Sigma q_f$ $\Rightarrow D_{2n}-D_{1n}={\sigma }_f（通量流出为正）$

界面无自由电荷时，电位移矢量法向连续

$D_{1n}=D_{2n}$

电场线的折射（无自由电荷）

$$\frac{\tan {\theta }_1}{\tan {\theta }_2}=\frac{{\epsilon }_{r1}}{{\epsilon }_{r2}}$$

其中 $\theta$ 为电场线与法线的夹角。

$E_{1\tau }=E_{2\tau }\Rightarrow \frac{D_{1\tau }}{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r_1}}=\frac{D_{2\tau }}{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r_2}}\Rightarrow \frac{D_{1n}\tan {\theta }_1}{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r_1}}=\frac{D_{2n}\tan {\theta }_2}{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r_2}}$

物理图像

• $\vec{D}$ 的法向连续性 $\Rightarrow$ 电位移线穿过界面不中断（无自由电荷时）
• $\vec{E}$ 的切向连续性 $\Rightarrow$ 静电场保守性要求

应用：求解介质中的电场分布时，先用介质高斯定理求 $\vec{D}$，再通过本构关系 $\vec{E}=\vec{D}/\epsilon$ 求 $\vec{E}$。

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