6 - 电介质公式汇总

电介质公式汇总

电介质一章的核心公式与定理梳理，按逻辑链展开：极化 → 电位移 → 介质高斯定理 → 边界条件 → 电容器应用

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1. 电极化

电极化强度

$$\vec{P}=\frac{\sum \vec{p}}{\Delta V}$$

单位体积内电偶极矩的矢量和。单位：${\text{C/m}}^2$。

极化电荷

类型	公式	含义
体密度	$\nabla \cdot \vec{P}=-{\rho }_{p内}$	内部极化电荷体密度
面密度	${\sigma }_p=\vec{P}\cdot \hat{n}$	表面极化电荷面密度

线性各向同性介质

$$\vec{P}={\epsilon }_0{\chi }_e\vec{E}$$

符号	含义
${\chi }_e$	电极化率（无量纲），反映介质极化难易程度
$\vec{E}$	介质中的总电场（自由电荷 + 束缚电荷产生）

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2. 电位移矢量

定义

$$\boxed{\vec{D}={\epsilon }_0\vec{E}+\vec{P}}$$

本构关系（线性介质）

$$\boxed{\vec{D}=\epsilon \vec{E}}$$ $$\epsilon ={\epsilon }_0{\epsilon }_r,{\epsilon }_r=1+{\chi }_e$$

符号	名称	单位
${\epsilon }_r$	相对介电常数	无量纲
$\epsilon$	绝对介电常数	$\text{F/m}$
${\chi }_e$	电极化率	无量纲

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3. 介质中的高斯定理

积分形式

$$\boxed{{\oint }_S\vec{D}\cdot d\vec{S}=\sum q_f}$$

微分形式

$$\boxed{\nabla \cdot \vec{D}={\rho }_f}$$

通过闭合曲面的电位移通量只与自由电荷有关，与束缚电荷无关——这是引入 $\vec{D}$ 的核心目的。

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4. 介质边界条件

电场强度切向连续

$$\boxed{E_{1\tau }=E_{2\tau }}$$

由电场环路定理 $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=0$ 导出。

电位移法向跃变

$$\boxed{D_{2n}-D_{1n}={\sigma }_f}$$

由介质高斯定理在界面上取微小薄板导出。通量流出为正。

无自由电荷时法向连续

$$D_{1n}=D_{2n}({\sigma }_f=0)$$

电场线的折射定律

$$\boxed{\frac{\tan {\theta }_1}{\tan {\theta }_2}=\frac{{\epsilon }_{r1}}{{\epsilon }_{r2}}}$$

$\theta$ 为电场线与界面法线的夹角。由 $E_{1\tau }=E_{2\tau }$ 和 $D_{1n}=D_{2n}$ 联合导出。

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5. 电容器中的电介质

电容增大公式

$$\boxed{C={\epsilon }_r{C}_0}$$

两极板间充满均匀电介质时，电容增至真空时的 ${\epsilon }_r$ 倍。

平行板电容器（充满介质）

$$C=\frac{\epsilon S}{d}={\epsilon }_0{\epsilon }_r\frac{S}{d}$$

介电强度

每种电介质能承受的最大电场强度，超过则击穿。

材料	介电强度 (kV/mm)
空气	3
云母	100–200
陶瓷	10–20
变压器油	10–30

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解题思路

处理介质中的静电场问题，一般步骤：

1. 分析自由电荷分布 → 对称性判断
2. 用介质高斯定理求 $\vec{D}$ → ${\oint }_S\vec{D}\cdot d\vec{S}=\sum q_f$
3. 用本构关系求 $\vec{E}$ → $\vec{E}=\vec{D}/\epsilon$
4. 用边界条件衔接不同介质 → $E_{1\tau }=E_{2\tau }$, $D_{1n}=D_{2n}$（无自由电荷时）
5. 由 $\vec{E}$ 求极化 → $\vec{P}={\epsilon }_0{\chi }_e\vec{E}$, ${\sigma }_p=\vec{P}\cdot \hat{n}$

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知识图谱

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相关笔记：1 - 电介质的极化 | 2 - 电位移矢量 | 3 - 介质高斯定理 | 4 - 介质边界条件 | 5 - 电容器中的电介质