1 - 磁偶极子

磁偶极子

（类比电偶极子）

磁偶极子，例如载流线圈

载流线圈的磁矩

$$\vec{m}=I\vec{S}$$

方向：右手螺旋定则（四指为电流方向，拇指为磁矩方向）。单位：${\text{Acdotpm}}^2$。

磁矩在外磁场中

$$\text{力矩：}\vec{M}=\vec{m}\times \vec{B}$$ $$\text{势能：}{E}_p=-\vec{m}\cdot \vec{B}$$

力矩使磁矩转向磁场方向（$\vec{m}\parallel \vec{B}$ 为稳定平衡） $\theta =0$ 时 $U_{\min }=-mB$；$\theta =\pi$ 时 $U_{\max }=mB$

推导： $\vec{M}=\oint \vec{r}\times (\vec{I}\times \vec{B}dl)=(rIB\sin \theta a\cdot b=)\vec{m}\times \vec{B}$ $\theta =\frac{\pi }{2}$为势能零点 (力矩向使得$\vec{m}\parallel \vec{B}$，显然与$d\vec{\theta }$反向) $E_p=-W_B=-{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\theta }-\vec{m}\times \vec{B}\cdot d\vec{\theta }=-mB\cos \theta =-\vec{m}\cdot \vec{B}$

磁偶极子产生的磁场

磁偶极子在其周围空间激发磁场，远场形式与电偶极子电场对应。

直角坐标分量

以 $\vec{m}$ 沿 $z$ 轴建立坐标系，$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$：

$$B_x=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{3mxz}{r^5},B_y=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{3myz}{r^5},B_z=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{m(3z^2-r^2)}{r^5}$$

球坐标分量

$$B_r=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{2m\cos \theta }{r^3},B_{\theta }=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{m\sin \theta }{r^3},B_{\varphi }=0$$

$B_r$ 为径向分量，$B_{\theta }$ 为极向分量。$\theta$ 为 $\vec{r}$ 与 $z$ 轴夹角。

与电偶极子类比

对比项	电偶极子	磁矩
定义	$\vec{p}=q\vec{l}$	$\vec{m}=IS\hat{n}$
力矩	$\vec{\tau }=\vec{p}\times \vec{E}$	$\vec{\tau }=\vec{m}\times \vec{B}$
势能	$U=-\vec{p}\cdot \vec{E}$	$U=-\vec{m}\cdot \vec{B}$
稳定平衡	$\vec{p}\parallel \vec{E}$	$\vec{m}\parallel \vec{B}$
远场公式	$\vec{E}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{3(\vec{p}\cdot \hat{r})\hat{r}-\vec{p}}{r^3}$	$\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{3(\vec{m}\cdot \hat{r})\hat{r}-\vec{m}}{r^3}$

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