9 - 磁介质公式汇总

磁介质公式汇总

磁介质一章核心公式。逻辑链：磁化 → 磁场强度 → 安培环路定理 → 分类 → 边界条件 → 铁磁质

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1. 磁介质的磁化

磁化强度

$$\vec{M}=\frac{\sum \vec{m}}{\Delta V}$$

磁化电流

类型	公式	含义
体密度	${\vec{J}}_m=\nabla \times \vec{M}$	磁化电流体密度
面密度	${\vec{\alpha }}_m=\vec{M}\times \hat{n}$	磁化电流面密度

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2. 磁场强度

定义

$$\boxed{\vec{H}=\frac{\vec{B}}{{\mu }_0}-\vec{M}}$$

本构关系（线性介质）

$$\boxed{\vec{B}=\mu \vec{H}}$$ $$\mu ={\mu }_0{\mu }_r,{\mu }_r=1+{\chi }_m,\vec{M}={\chi }_m\vec{H}$$

符号	含义	单位
$\vec{H}$	磁场强度	A/m
${\mu }_r$	相对磁导率	无量纲
${\chi }_m$	磁化率	无量纲

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3. 磁介质的安培环路定理

积分形式

$$\boxed{\oint \vec{H}\cdot d\vec{l}=\sum I_f}$$

微分形式

$$\boxed{\nabla \times \vec{H}={\vec{J}}_f}$$

只与传导电流有关，磁化电流的影响隐含在 $\vec{H}$ 的定义中。

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4. 磁介质的分类

类型	${\chi }_m$	${\mu }_r$	特点
顺磁质	${\chi }_m>0$	${\mu }_r>1$	有固有磁矩，磁化弱
抗磁质	${\chi }_m<0$	${\mu }_r<1$	无固有磁矩，磁化极弱
铁磁质	${\chi }_m\gg 0$	${\mu }_r\gg 1$	磁畴，磁化强，非线性

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5. 磁介质边界条件

磁感应强度法向连续

$$\boxed{B_{1n}=B_{2n}}$$

磁场强度切向连续（无传导面电流）

$$\boxed{H_{1\tau }=H_{2\tau }}$$

磁感线折射定律

$$\frac{\tan {\theta }_1}{\tan {\theta }_2}=\frac{{\mu }_{r1}}{{\mu }_{r2}}$$

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6. 铁磁质

磁滞回线特征量

• 剩磁 $B_r$：$H=0$ 时的 $B$
• 矫顽力 $H_c$：使 $B=0$ 所需反向 $H$

分类

类型	$H_c$	应用
软磁材料	小	变压器、电机铁芯
硬磁材料	大	永磁体

居里温度

$$T>T_C\Rightarrow \text{铁磁性}\to \text{顺磁性}$$

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电场与磁场介质对比

对比项	电介质	磁介质
响应量	极化强度 $\vec{P}$	磁化强度 $\vec{M}$
辅助场	$\vec{D}={\epsilon }_0\vec{E}+\vec{P}$	$\vec{H}=\vec{B}/{\mu }_0-\vec{M}$
本构关系	$\vec{D}=\epsilon \vec{E}$	$\vec{B}=\mu \vec{H}$
介质定理	${\oint }_S\vec{D}\cdot d\vec{S}=q_f$	$\oint \vec{H}\cdot d\vec{l}=I_f$
边界条件	$E_{\tau }$ 连续, $D_n$ 连续/跃变	$B_n$ 连续, $H_{\tau }$ 连续
描述参量	${\epsilon }_r,{\chi }_e$	${\mu }_r,{\chi }_m$

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解题思路

处理磁介质中的磁场问题，一般步骤：

1. 分析传导电流分布 → 对称性判断
2. 用介质安培环路定理求 $\vec{H}$ → $\oint \vec{H}\cdot d\vec{l}=\sum I_f$
3. 用本构关系求 $\vec{B}$ → $\vec{B}=\mu \vec{H}$
4. 用边界条件衔接不同介质 → $B_{1n}=B_{2n}$, $H_{1\tau }=H_{2\tau }$
5. 用 $\vec{H}$ 求磁化 → $\vec{M}={\chi }_m\vec{H}$, ${\vec{\alpha }}_m=\vec{M}\times \hat{n}$

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知识图谱

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相关笔记：1 - 磁偶极子 | 2 - 分子磁矩 | 3 - 磁介质的磁化 | 4 - 磁场强度 | 5 - 磁介质的安培环路定理 | 6 - 磁介质的分类 | 7 - 磁介质边界条件 | 8 - 铁磁质