10 - 静磁学公式汇总

静磁学公式汇总

静磁学核心公式与定理梳理。逻辑链：磁感应强度 → 毕奥-萨伐尔/安培环路 → 磁通量/高斯定理 → 磁场分布 → 安培力/洛伦兹力/磁矩

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1. 磁感应强度

定义（洛伦兹力）

$$\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$$

单位：T（特斯拉），$1\text{T}=1\text{N/(Acdotpm)}$

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2. 毕奥-萨伐尔定律

电流元的磁场

$$d\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id\vec{l}\times \hat{r}}{r^2}$$

典型应用

系统	公式
无限长直导线	$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$
有限长直导线	$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi r}(\cos {\theta }_1-\cos {\theta }_2)$
圆电流圆心	$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}$
圆电流轴线	$B=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2(R^2+x^2{)}^{3/2}}$

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3. 安培环路定理

积分形式

$$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}={\mu }_0\sum I_{\text{enc}}$$

微分形式

$$\nabla \times \vec{B}={\mu }_0\vec{J}$$

典型应用

系统	公式
无限长直导线	$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$
长直螺线管内部	$B={\mu }_{0}nI$
螺绕环	$B=\frac{{\mu }_{0}NI}{2\pi r}$

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4. 运动电荷的磁场

单个运动电荷的磁场

$$\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{q\vec{v}\times \hat{r}}{r^2}$$

由毕奥-萨伐尔定律通过 $Id\vec{l}=q\vec{v}$ 导出。$v\ll c$（低速近似）。

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5. 磁通量

定义

$$\Phi ={\iint }_S\vec{B}\cdot d\vec{S}$$

单位：Wb（韦伯），$1\text{Wb}=1{\text{Tcdotpm}}^2$

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6. 磁场的高斯定理

$${\oint }_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=0,\nabla \cdot \vec{B}=0$$

磁场无源，不存在磁单极子。

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7. 安培力

电流元受力

$$d\vec{F}=Id\vec{l}\times \vec{B}$$

平行导线相互作用

$$\frac{F}{l}=\frac{{\mu }_0{I}_1{I}_2}{2\pi d}$$

线圈力矩

$$\vec{\tau }=I\vec{S}\times \vec{B}=\vec{m}\times \vec{B}$$

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8. 洛伦兹力

运动电荷受力

$$\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$$

回旋运动（$\vec{v}\perp \vec{B}$）

$$R=\frac{mv}{qB},T=\frac{2\pi m}{qB},f=\frac{qB}{2\pi m}$$

回旋周期 $T$ 与速度 $v$ 无关！洛伦兹力不做功。

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9. 磁矩

载流线圈磁矩

$$\vec{m}=IS\hat{n}$$

磁矩在外磁场中

$$\vec{\tau }=\vec{m}\times \vec{B},U=-\vec{m}\cdot \vec{B}$$

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电场与磁场类比

对比项	电场	磁场
基本量	$\vec{E}$（电场强度）	$\vec{B}$（磁感应强度）
源	电荷 $q$	电流 $I$
基本定律	库仑定律	毕奥-萨伐尔定律
通量定理	${\oint }_S\vec{E}\cdot d\vec{S}=Q/{\epsilon }_0$（有源）	${\oint }_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=0$（无源）
环路定理	$\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=0$（无旋）	$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}={\mu }_{0}I$（有旋）
力	$\vec{F}=q\vec{E}$	$\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$

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公式脉络图

磁感应强度 ────→ 毕奥-萨伐尔定律 ──→ 安培环路定理
    │                 │
    │                 ├──→ 运动电荷的磁场 (B = μ₀/4π · qv×r̂/r²)
    │                 │
    ├──→ 磁通量 ──→ 磁场的高斯定理     │
    │                                   │
    └───────────────────────────────────┘
                      │
                      ▼
                 磁场分布 ────→ 安培力 ────→ 磁矩
                      │
                      └───→ 洛伦兹力 ←── 运动电荷的磁场

知识图谱

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相关笔记：1 - 磁感应强度 | 2 - 毕奥-萨伐尔定律 | 3 - 安培环路定理 | 9 - 运动电荷的磁场 | 4 - 磁通量 | 5 - 磁场的高斯定理 | 6 - 磁场分布 | 7 - 安培力 | 8 - 洛伦兹力 | 1 - 磁偶极子